Ecuación diferencial y''-2y'-y=-2cos2x

Tenemos la ecuación:
$$- y{\left(x \right)} - 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = - 2 \cos{\left(2 x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

y'' + p*y' + q*y = s,

donde
$$p = -2$$
$$q = -1$$
$$s = 2 \cos{\left(2 x \right)}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente

y'' + p*y' + q*y = 0

Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - 2 k - 1 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = 1 - \sqrt{2}$$
$$k_{2} = 1 + \sqrt{2}$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
y las raíces no tienen una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} e^{k_{2} x}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(1 - \sqrt{2}\right)} + C_{2} e^{x \left(1 + \sqrt{2}\right)}$$

Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea

y'' + p*y' + q*y = s

Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x

Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(1 - \sqrt{2}\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(1 + \sqrt{2}\right)}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(x*(1 - sqrt(2))) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(x*(1 + sqrt(2))) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = - 2 \cos{\left(2 x \right)}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{x \left(1 - \sqrt{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(1 + \sqrt{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(1 - \sqrt{2}\right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(1 + \sqrt{2}\right)} = - 2 \cos{\left(2 x \right)}$$
o
$$e^{x \left(1 - \sqrt{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(1 + \sqrt{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(1 - \sqrt{2}\right) e^{x \left(1 - \sqrt{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \left(1 + \sqrt{2}\right) e^{x \left(1 + \sqrt{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = - 2 \cos{\left(2 x \right)}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{2} e^{- x + \sqrt{2} x} \cos{\left(2 x \right)}}{2}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{2} e^{- x \left(1 + \sqrt{2}\right)} \cos{\left(2 x \right)}}{2}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \frac{\sqrt{2} e^{- x + \sqrt{2} x} \cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(- \frac{\sqrt{2} e^{- x \left(1 + \sqrt{2}\right)} \cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \frac{\sqrt{2} \left(- \frac{138 e^{\sqrt{2} x} \sin{\left(2 x \right)}}{- 679 e^{x} + 481 \sqrt{2} e^{x}} + \frac{98 \sqrt{2} e^{\sqrt{2} x} \sin{\left(2 x \right)}}{- 679 e^{x} + 481 \sqrt{2} e^{x}} - \frac{118 \sqrt{2} e^{\sqrt{2} x} \cos{\left(2 x \right)}}{- 679 e^{x} + 481 \sqrt{2} e^{x}} + \frac{167 e^{\sqrt{2} x} \cos{\left(2 x \right)}}{- 679 e^{x} + 481 \sqrt{2} e^{x}}\right)}{2}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} - \frac{\sqrt{2} \left(\frac{1376 \sqrt{2} \sin{\left(2 x \right)}}{6762 \sqrt{2} e^{x} e^{\sqrt{2} x} + 9563 e^{x} e^{\sqrt{2} x}} + \frac{1946 \sin{\left(2 x \right)}}{6762 \sqrt{2} e^{x} e^{\sqrt{2} x} + 9563 e^{x} e^{\sqrt{2} x}} - \frac{1661 \sqrt{2} \cos{\left(2 x \right)}}{6762 \sqrt{2} e^{x} e^{\sqrt{2} x} + 9563 e^{x} e^{\sqrt{2} x}} - \frac{2349 \cos{\left(2 x \right)}}{6762 \sqrt{2} e^{x} e^{\sqrt{2} x} + 9563 e^{x} e^{\sqrt{2} x}}\right)}{2}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(1 - \sqrt{2}\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(1 + \sqrt{2}\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{x} e^{- \sqrt{2} x} + C_{4} e^{x} e^{\sqrt{2} x} - \frac{69 \sqrt{2} e^{x} \sin{\left(2 x \right)}}{- 679 e^{x} + 481 \sqrt{2} e^{x}} + \frac{98 e^{x} \sin{\left(2 x \right)}}{- 679 e^{x} + 481 \sqrt{2} e^{x}} - \frac{118 e^{x} \cos{\left(2 x \right)}}{- 679 e^{x} + 481 \sqrt{2} e^{x}} + \frac{167 \sqrt{2} e^{x} \cos{\left(2 x \right)}}{2 \left(- 679 e^{x} + 481 \sqrt{2} e^{x}\right)} - \frac{973 \sqrt{2} e^{x} e^{\sqrt{2} x} \sin{\left(2 x \right)}}{6762 \sqrt{2} e^{x} e^{\sqrt{2} x} + 9563 e^{x} e^{\sqrt{2} x}} - \frac{1376 e^{x} e^{\sqrt{2} x} \sin{\left(2 x \right)}}{6762 \sqrt{2} e^{x} e^{\sqrt{2} x} + 9563 e^{x} e^{\sqrt{2} x}} + \frac{2349 \sqrt{2} e^{x} e^{\sqrt{2} x} \cos{\left(2 x \right)}}{2 \left(6762 \sqrt{2} e^{x} e^{\sqrt{2} x} + 9563 e^{x} e^{\sqrt{2} x}\right)} + \frac{1661 e^{x} e^{\sqrt{2} x} \cos{\left(2 x \right)}}{6762 \sqrt{2} e^{x} e^{\sqrt{2} x} + 9563 e^{x} e^{\sqrt{2} x}}$$
donde C3 y C4 hay son constantes