Sr Examen
Ecuación diferencial dx=y^2+1dy
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2
y (x) d
1 = ----- + --(y(x))
dx dx
$$1 = \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{y^{2}{\left(x \right)}}{dx}$$
1 = y' + y^2/dx
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{y^{2}{\left(x \right)}}{dx} = 1$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{1}{dx}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = dx - y^{2}{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$dx - y^{2}{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{dx - y^{2}{\left(x \right)}} = \frac{1}{dx}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{dx - y^{2}{\left(x \right)}} = 1$$
o
$$\frac{dy}{dx - y^{2}{\left(x \right)}} = 1$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{dx - y^{2}}\, dy = \int \frac{1}{dx}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\sqrt{\frac{1}{dx}} \log{\left(- dx \sqrt{\frac{1}{dx}} + y \right)}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{1}{dx}} \log{\left(dx \sqrt{\frac{1}{dx}} + y \right)}}{2} = Const + \frac{x}{dx}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{dx}}{\tanh{\left(\frac{\log{\left(e^{C_{1} dx - 2 x} \right)}}{2 \sqrt{dx}} \right)}}$$
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{y^{2}{\left(x \right)}}{dx} = 1$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{1}{dx}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = dx - y^{2}{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$dx - y^{2}{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{dx - y^{2}{\left(x \right)}} = \frac{1}{dx}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{dx - y^{2}{\left(x \right)}} = 1$$
o
$$\frac{dy}{dx - y^{2}{\left(x \right)}} = 1$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{dx - y^{2}}\, dy = \int \frac{1}{dx}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\sqrt{\frac{1}{dx}} \log{\left(- dx \sqrt{\frac{1}{dx}} + y \right)}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{1}{dx}} \log{\left(dx \sqrt{\frac{1}{dx}} + y \right)}}{2} = Const + \frac{x}{dx}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{dx}}{\tanh{\left(\frac{\log{\left(e^{C_{1} dx - 2 x} \right)}}{2 \sqrt{dx}} \right)}}$$
Respuesta
[src]
____
-\/ dx
y(x) = ------------------------
/ / -2*x + C1*dx\\
|log\e /|
tanh|------------------|
| ____ |
\ 2*\/ dx /
$$y{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{dx}}{\tanh{\left(\frac{\log{\left(e^{C_{1} dx - 2 x} \right)}}{2 \sqrt{dx}} \right)}}$$
Clasificación
factorable
separable
1st power series
lie group
separable Integral