Sr Examen
Ecuación diferencial yy''+(y')^3-(y')^2=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
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Solución
Ha introducido
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3 2 2
/d \ /d \ d
|--(y(x))| - |--(y(x))| + ---(y(x))*y(x) = 0
\dx / \dx / 2
dx
$$y{\left(x \right)} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} + \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{3} - \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2} = 0$$
y*y'' + y'^3 - y'^2 = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$y{\left(x \right)} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} + \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{3} - \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y' \right)} = - \left(1 - \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right) \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y')
$$- \left(1 - \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right) \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 1\right) \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2}} = - \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y'.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 1\right) \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2}} = - \frac{dx}{y{\left(x \right)}}$$
o
$$\frac{dy'}{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 1\right) \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2}} = - \frac{dx}{y{\left(x \right)}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y',
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y'^{2} \left(y' - 1\right)}\, dy' = \int \left(- \frac{1}{y{\left(x \right)}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \log{\left(y' \right)} + \log{\left(y' - 1 \right)} + \frac{1}{y'} = Const - \int \frac{1}{y{\left(x \right)}}\, dx$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y'.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y'1} = \log{\left(\operatorname{y'}{\left(x \right)} - 1 \right)} - \log{\left(\operatorname{y'}{\left(x \right)} \right)} + \int \frac{1}{y{\left(x \right)}}\, dx + \frac{1}{\operatorname{y'}{\left(x \right)}} = C_{1}$$
tomemos estas integrales
$$\operatorname{y_{1}} = \int \left(\log{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 1 \right)} - \log{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} \right)} + \int \frac{1}{y{\left(x \right)}}\, dx + \frac{1}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}\right)\, dx = \int C_{1}\, dx$$ =
$$\operatorname{y_{1}} = \int \frac{\log{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 1 \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \log{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} \int \frac{1}{y{\left(x \right)}}\, dx + 1}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}\, dx = C_{1} x + C_{2}$$
$$y{\left(x \right)} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} + \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{3} - \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y')*y'' = f2(x)*g2(y'),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y' \right)} = - \left(1 - \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right) \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y')/g2(y')*y''= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y')
$$- \left(1 - \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right) \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 1\right) \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2}} = - \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y'.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 1\right) \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2}} = - \frac{dx}{y{\left(x \right)}}$$
o
$$\frac{dy'}{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 1\right) \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2}} = - \frac{dx}{y{\left(x \right)}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y',
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y'^{2} \left(y' - 1\right)}\, dy' = \int \left(- \frac{1}{y{\left(x \right)}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \log{\left(y' \right)} + \log{\left(y' - 1 \right)} + \frac{1}{y'} = Const - \int \frac{1}{y{\left(x \right)}}\, dx$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y'.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y'1} = \log{\left(\operatorname{y'}{\left(x \right)} - 1 \right)} - \log{\left(\operatorname{y'}{\left(x \right)} \right)} + \int \frac{1}{y{\left(x \right)}}\, dx + \frac{1}{\operatorname{y'}{\left(x \right)}} = C_{1}$$
tomemos estas integrales
$$\operatorname{y_{1}} = \int \left(\log{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 1 \right)} - \log{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} \right)} + \int \frac{1}{y{\left(x \right)}}\, dx + \frac{1}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}\right)\, dx = \int C_{1}\, dx$$ =
$$\operatorname{y_{1}} = \int \frac{\log{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 1 \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \log{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} \int \frac{1}{y{\left(x \right)}}\, dx + 1}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}\, dx = C_{1} x + C_{2}$$
Clasificación
factorable