Sr Examen
Ecuación diferencial sin(x)*y'=(y+1)*ln(y+1)
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d --(y(x))*sin(x) = (1 + y(x))*log(1 + y(x)) dx
$$\sin{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \left(y{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(y{\left(x \right)} + 1 \right)}$$
sin(x)*y' = (y + 1)*log(y + 1)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\sin{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \left(y{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(y{\left(x \right)} + 1 \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \left(y{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(y{\left(x \right)} + 1 \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \left(y{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(y{\left(x \right)} + 1 \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\left(y{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(y{\left(x \right)} + 1 \right)}} = - \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\left(y{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(y{\left(x \right)} + 1 \right)}} = - \frac{dx}{\sin{\left(x \right)}}$$
o
$$- \frac{dy}{\left(y{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(y{\left(x \right)} + 1 \right)}} = - \frac{dx}{\sin{\left(x \right)}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{\left(y + 1\right) \log{\left(y + 1 \right)}}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \log{\left(\log{\left(y + 1 \right)} \right)} = Const - \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = e^{\frac{C_{1} \sqrt{\cos{\left(x \right)} - 1}}{\sqrt{\cos{\left(x \right)} + 1}}} - 1$$
$$\sin{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \left(y{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(y{\left(x \right)} + 1 \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \left(y{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(y{\left(x \right)} + 1 \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \left(y{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(y{\left(x \right)} + 1 \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\left(y{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(y{\left(x \right)} + 1 \right)}} = - \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\left(y{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(y{\left(x \right)} + 1 \right)}} = - \frac{dx}{\sin{\left(x \right)}}$$
o
$$- \frac{dy}{\left(y{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(y{\left(x \right)} + 1 \right)}} = - \frac{dx}{\sin{\left(x \right)}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{\left(y + 1\right) \log{\left(y + 1 \right)}}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \log{\left(\log{\left(y + 1 \right)} \right)} = Const - \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = e^{\frac{C_{1} \sqrt{\cos{\left(x \right)} - 1}}{\sqrt{\cos{\left(x \right)} + 1}}} - 1$$
Respuesta
[src]
_____________
C1*\/ -1 + cos(x)
------------------
____________
\/ 1 + cos(x)
y(x) = -1 + e
$$y{\left(x \right)} = e^{\frac{C_{1} \sqrt{\cos{\left(x \right)} - 1}}{\sqrt{\cos{\left(x \right)} + 1}}} - 1$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
lie group
separable Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 1.564021724611638e+20)
(-5.555555555555555, 2.17e-322)
(-3.333333333333333, nan)
(-1.1111111111111107, 2.78363573e-315)
(1.1111111111111107, 6.971028255580836e+173)
(3.333333333333334, 3.1933833808213398e-248)
(5.555555555555557, 3.4667248631491264e+179)
(7.777777777777779, 8.388243567355958e+296)
(10.0, 3.861029683e-315)
(10.0, 3.861029683e-315)