Sr Examen
Ecuación diferencial sin(x/7)dx=3^(-2*y)*dy
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
/x\ -2*y(x) d sin|-| = 3 *--(y(x)) \7/ dx
$$\sin{\left(\frac{x}{7} \right)} = 3^{- 2 y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
sin(x/7) = 3^(-2*y)*y'
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$3^{- 2 y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{7} \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \sin{\left(\frac{x}{7} \right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - 9^{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- 9^{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- 9^{- y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \sin{\left(\frac{x}{7} \right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- 9^{- y{\left(x \right)}} dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - dx \sin{\left(\frac{x}{7} \right)}$$
o
$$- 9^{- y{\left(x \right)}} dy = - dx \sin{\left(\frac{x}{7} \right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- 9^{- y}\right)\, dy = \int \left(- \sin{\left(\frac{x}{7} \right)}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{9^{- y}}{2 \log{\left(3 \right)}} = Const + 7 \cos{\left(\frac{x}{7} \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(- \sqrt{- \frac{1}{C_{1} - 7 \cos{\left(\frac{x}{7} \right)}}} \right)} - \frac{\log{\left(2 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(\log{\left(3 \right)} \right)}}{2}}{\log{\left(3 \right)}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(- \frac{1}{C_{1} - 7 \cos{\left(\frac{x}{7} \right)}} \right)} - \log{\left(2 \right)} - \log{\left(\log{\left(3 \right)} \right)}}{2 \log{\left(3 \right)}}$$
$$3^{- 2 y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{7} \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \sin{\left(\frac{x}{7} \right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - 9^{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- 9^{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- 9^{- y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \sin{\left(\frac{x}{7} \right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- 9^{- y{\left(x \right)}} dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - dx \sin{\left(\frac{x}{7} \right)}$$
o
$$- 9^{- y{\left(x \right)}} dy = - dx \sin{\left(\frac{x}{7} \right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- 9^{- y}\right)\, dy = \int \left(- \sin{\left(\frac{x}{7} \right)}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{9^{- y}}{2 \log{\left(3 \right)}} = Const + 7 \cos{\left(\frac{x}{7} \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(- \sqrt{- \frac{1}{C_{1} - 7 \cos{\left(\frac{x}{7} \right)}}} \right)} - \frac{\log{\left(2 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(\log{\left(3 \right)} \right)}}{2}}{\log{\left(3 \right)}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(- \frac{1}{C_{1} - 7 \cos{\left(\frac{x}{7} \right)}} \right)} - \log{\left(2 \right)} - \log{\left(\log{\left(3 \right)} \right)}}{2 \log{\left(3 \right)}}$$
Respuesta
[src]
/ _______________\
log(2) log(log(3)) | / -1 |
- ------ - ----------- + log|- / ------------- |
2 2 | / /x\ |
| / C1 - 7*cos|-| |
\ \/ \7/ /
y(x) = ----------------------------------------------------
log(3)
$$y{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(- \sqrt{- \frac{1}{C_{1} - 7 \cos{\left(\frac{x}{7} \right)}}} \right)} - \frac{\log{\left(2 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(\log{\left(3 \right)} \right)}}{2}}{\log{\left(3 \right)}}$$
/ -1 \
-log(2) - log(log(3)) + log|-------------|
| /x\|
|C1 - 7*cos|-||
\ \7//
y(x) = ------------------------------------------
2*log(3)
$$y{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(- \frac{1}{C_{1} - 7 \cos{\left(\frac{x}{7} \right)}} \right)} - \log{\left(2 \right)} - \log{\left(\log{\left(3 \right)} \right)}}{2 \log{\left(3 \right)}}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
factorable
separable
1st exact
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, -0.7173230949262372)
(-5.555555555555555, -0.9896636640568368)
(-3.333333333333333, -1.118697270258088)
(-1.1111111111111107, -1.1742913833074846)
(1.1111111111111107, -1.1742913938441562)
(3.333333333333334, -1.1186972668332147)
(5.555555555555557, -0.9896635599660276)
(7.777777777777779, -0.7173226952956744)
(10.0, 0.7500143052044855)
(10.0, 0.7500143052044855)