Ecuación diferencial sin(4*x)*dx+(4*y-exp(2*y))*dy=0

Tenemos la ecuación:
$$4 y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - e^{2 y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \sin{\left(4 x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \sin{\left(4 x \right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{4 y{\left(x \right)} - e^{2 y{\left(x \right)}}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{1}{4 y{\left(x \right)} - e^{2 y{\left(x \right)}}}$$
obtendremos
$$\left(4 y{\left(x \right)} - e^{2 y{\left(x \right)}}\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \sin{\left(4 x \right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx \left(4 y{\left(x \right)} - e^{2 y{\left(x \right)}}\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - dx \sin{\left(4 x \right)}$$
o
$$dy \left(4 y{\left(x \right)} - e^{2 y{\left(x \right)}}\right) = - dx \sin{\left(4 x \right)}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(4 y - e^{2 y}\right)\, dy = \int \left(- \sin{\left(4 x \right)}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$2 y^{2} - \frac{e^{2 y}}{2} = Const + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = - 2 y^{2}{\left(x \right)} + \frac{e^{2 y{\left(x \right)}}}{2} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4} = C_{1}$$