Sr Examen
Ecuación diferencial y''+2*y'+4*y=0.5*cos(2*t)
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2
d d cos(2*t)
2*--(y(t)) + 4*y(t) + ---(y(t)) = --------
dt 2 2
dt
$$4 y{\left(t \right)} + 2 \frac{d}{d t} y{\left(t \right)} + \frac{d^{2}}{d t^{2}} y{\left(t \right)} = \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}$$
4*y + 2*y' + y'' = cos(2*t)/2
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$4 y{\left(t \right)} + 2 \frac{d}{d t} y{\left(t \right)} + \frac{d^{2}}{d t^{2}} y{\left(t \right)} = \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$p = 2$$
$$q = 4$$
$$s = - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + 2 k + 4 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = -1 - \sqrt{3} i$$
$$k_{2} = -1 + \sqrt{3} i$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(t \right)} = e^{k_{1} t} C_{1} + e^{k_{2} t} C_{2}$$
$$y{\left(t \right)} = C_{1} e^{t \left(-1 - \sqrt{3} i\right)} + C_{2} e^{t \left(-1 + \sqrt{3} i\right)}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(t \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} e^{t \left(-1 - \sqrt{3} i\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} e^{t \left(-1 + \sqrt{3} i\right)}$$
donde C1(t) y C2(t)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{y_{1}}{\left(t \right)} + \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{y_{2}}{\left(t \right)} = f{\left(t \right)}$$
donde
y1(t) y y2(t) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(t) = exp(t*(-1 - sqrt(3)*i)) (C1=1, C2=0),
y2(t) = exp(t*(-1 + sqrt(3)*i)) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(t \right)} = \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{t \left(-1 - \sqrt{3} i\right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} + e^{t \left(-1 + \sqrt{3} i\right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} e^{t \left(-1 - \sqrt{3} i\right)} + \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} e^{t \left(-1 + \sqrt{3} i\right)} = \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}$$
o
$$e^{t \left(-1 - \sqrt{3} i\right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} + e^{t \left(-1 + \sqrt{3} i\right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = 0$$
$$\left(-1 - \sqrt{3} i\right) e^{t \left(-1 - \sqrt{3} i\right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} + \left(-1 + \sqrt{3} i\right) e^{t \left(-1 + \sqrt{3} i\right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = \frac{\sqrt{3} i e^{t + \sqrt{3} i t} \cos{\left(2 t \right)}}{12}$$
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = - \frac{\sqrt{3} i e^{t - \sqrt{3} i t} \cos{\left(2 t \right)}}{12}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = C_{3} + \int \frac{\sqrt{3} i e^{t + \sqrt{3} i t} \cos{\left(2 t \right)}}{12}\, dt$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = C_{4} + \int \left(- \frac{\sqrt{3} i e^{t - \sqrt{3} i t} \cos{\left(2 t \right)}}{12}\right)\, dt$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = C_{3} + \frac{\sqrt{3} i \left(\frac{e^{t} e^{\sqrt{3} i t} \sin{\left(2 t \right)}}{-2 + 2 \sqrt{3} i} + \frac{\sqrt{3} i e^{t} e^{\sqrt{3} i t} \sin{\left(2 t \right)}}{-2 + 2 \sqrt{3} i} + \frac{\sqrt{3} i e^{t} e^{\sqrt{3} i t} \cos{\left(2 t \right)}}{-2 + 2 \sqrt{3} i} - \frac{e^{t} e^{\sqrt{3} i t} \cos{\left(2 t \right)}}{-2 + 2 \sqrt{3} i}\right)}{12}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = C_{4} - \frac{\sqrt{3} i \left(- \frac{2 e^{t} \sin{\left(2 t \right)}}{- 2 e^{\sqrt{3} i t} + 2 \sqrt{3} i e^{\sqrt{3} i t}} - \frac{e^{t} \cos{\left(2 t \right)}}{- 2 e^{\sqrt{3} i t} + 2 \sqrt{3} i e^{\sqrt{3} i t}} + \frac{\sqrt{3} i e^{t} \cos{\left(2 t \right)}}{- 2 e^{\sqrt{3} i t} + 2 \sqrt{3} i e^{\sqrt{3} i t}}\right)}{12}$$
Sustituyamos C1(t) y C2(t) hallados en
$$y{\left(t \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} e^{t \left(-1 - \sqrt{3} i\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} e^{t \left(-1 + \sqrt{3} i\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(t \right)} = C_{3} e^{- t} e^{- \sqrt{3} i t} + C_{4} e^{- t} e^{\sqrt{3} i t} + \frac{\sqrt{3} i \sin{\left(2 t \right)}}{12 \left(-2 + 2 \sqrt{3} i\right)} - \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4 \left(-2 + 2 \sqrt{3} i\right)} - \frac{\sqrt{3} i \cos{\left(2 t \right)}}{12 \left(-2 + 2 \sqrt{3} i\right)} - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{4 \left(-2 + 2 \sqrt{3} i\right)} + \frac{\sqrt{3} i e^{\sqrt{3} i t} \sin{\left(2 t \right)}}{6 \left(- 2 e^{\sqrt{3} i t} + 2 \sqrt{3} i e^{\sqrt{3} i t}\right)} + \frac{e^{\sqrt{3} i t} \cos{\left(2 t \right)}}{4 \left(- 2 e^{\sqrt{3} i t} + 2 \sqrt{3} i e^{\sqrt{3} i t}\right)} + \frac{\sqrt{3} i e^{\sqrt{3} i t} \cos{\left(2 t \right)}}{12 \left(- 2 e^{\sqrt{3} i t} + 2 \sqrt{3} i e^{\sqrt{3} i t}\right)}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
$$4 y{\left(t \right)} + 2 \frac{d}{d t} y{\left(t \right)} + \frac{d^{2}}{d t^{2}} y{\left(t \right)} = \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = s,
donde
$$p = 2$$
$$q = 4$$
$$s = - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + 2 k + 4 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = -1 - \sqrt{3} i$$
$$k_{2} = -1 + \sqrt{3} i$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(t \right)} = e^{k_{1} t} C_{1} + e^{k_{2} t} C_{2}$$
$$y{\left(t \right)} = C_{1} e^{t \left(-1 - \sqrt{3} i\right)} + C_{2} e^{t \left(-1 + \sqrt{3} i\right)}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
y'' + p*y' + q*y = s
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(t \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} e^{t \left(-1 - \sqrt{3} i\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} e^{t \left(-1 + \sqrt{3} i\right)}$$
donde C1(t) y C2(t)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{y_{1}}{\left(t \right)} + \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{y_{2}}{\left(t \right)} = f{\left(t \right)}$$
donde
y1(t) y y2(t) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(t) = exp(t*(-1 - sqrt(3)*i)) (C1=1, C2=0),
y2(t) = exp(t*(-1 + sqrt(3)*i)) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(t \right)} = \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{t \left(-1 - \sqrt{3} i\right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} + e^{t \left(-1 + \sqrt{3} i\right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} e^{t \left(-1 - \sqrt{3} i\right)} + \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} e^{t \left(-1 + \sqrt{3} i\right)} = \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}$$
o
$$e^{t \left(-1 - \sqrt{3} i\right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} + e^{t \left(-1 + \sqrt{3} i\right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = 0$$
$$\left(-1 - \sqrt{3} i\right) e^{t \left(-1 - \sqrt{3} i\right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} + \left(-1 + \sqrt{3} i\right) e^{t \left(-1 + \sqrt{3} i\right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = \frac{\sqrt{3} i e^{t + \sqrt{3} i t} \cos{\left(2 t \right)}}{12}$$
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = - \frac{\sqrt{3} i e^{t - \sqrt{3} i t} \cos{\left(2 t \right)}}{12}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = C_{3} + \int \frac{\sqrt{3} i e^{t + \sqrt{3} i t} \cos{\left(2 t \right)}}{12}\, dt$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = C_{4} + \int \left(- \frac{\sqrt{3} i e^{t - \sqrt{3} i t} \cos{\left(2 t \right)}}{12}\right)\, dt$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = C_{3} + \frac{\sqrt{3} i \left(\frac{e^{t} e^{\sqrt{3} i t} \sin{\left(2 t \right)}}{-2 + 2 \sqrt{3} i} + \frac{\sqrt{3} i e^{t} e^{\sqrt{3} i t} \sin{\left(2 t \right)}}{-2 + 2 \sqrt{3} i} + \frac{\sqrt{3} i e^{t} e^{\sqrt{3} i t} \cos{\left(2 t \right)}}{-2 + 2 \sqrt{3} i} - \frac{e^{t} e^{\sqrt{3} i t} \cos{\left(2 t \right)}}{-2 + 2 \sqrt{3} i}\right)}{12}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = C_{4} - \frac{\sqrt{3} i \left(- \frac{2 e^{t} \sin{\left(2 t \right)}}{- 2 e^{\sqrt{3} i t} + 2 \sqrt{3} i e^{\sqrt{3} i t}} - \frac{e^{t} \cos{\left(2 t \right)}}{- 2 e^{\sqrt{3} i t} + 2 \sqrt{3} i e^{\sqrt{3} i t}} + \frac{\sqrt{3} i e^{t} \cos{\left(2 t \right)}}{- 2 e^{\sqrt{3} i t} + 2 \sqrt{3} i e^{\sqrt{3} i t}}\right)}{12}$$
Sustituyamos C1(t) y C2(t) hallados en
$$y{\left(t \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} e^{t \left(-1 - \sqrt{3} i\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} e^{t \left(-1 + \sqrt{3} i\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(t \right)} = C_{3} e^{- t} e^{- \sqrt{3} i t} + C_{4} e^{- t} e^{\sqrt{3} i t} + \frac{\sqrt{3} i \sin{\left(2 t \right)}}{12 \left(-2 + 2 \sqrt{3} i\right)} - \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4 \left(-2 + 2 \sqrt{3} i\right)} - \frac{\sqrt{3} i \cos{\left(2 t \right)}}{12 \left(-2 + 2 \sqrt{3} i\right)} - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{4 \left(-2 + 2 \sqrt{3} i\right)} + \frac{\sqrt{3} i e^{\sqrt{3} i t} \sin{\left(2 t \right)}}{6 \left(- 2 e^{\sqrt{3} i t} + 2 \sqrt{3} i e^{\sqrt{3} i t}\right)} + \frac{e^{\sqrt{3} i t} \cos{\left(2 t \right)}}{4 \left(- 2 e^{\sqrt{3} i t} + 2 \sqrt{3} i e^{\sqrt{3} i t}\right)} + \frac{\sqrt{3} i e^{\sqrt{3} i t} \cos{\left(2 t \right)}}{12 \left(- 2 e^{\sqrt{3} i t} + 2 \sqrt{3} i e^{\sqrt{3} i t}\right)}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
Respuesta
[src]
sin(2*t) / / ___\ / ___\\ -t
y(t) = -------- + \C1*sin\t*\/ 3 / + C2*cos\t*\/ 3 //*e
8
$$y{\left(t \right)} = \left(C_{1} \sin{\left(\sqrt{3} t \right)} + C_{2} \cos{\left(\sqrt{3} t \right)}\right) e^{- t} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{8}$$
Clasificación
nth linear constant coeff undetermined coefficients
nth linear constant coeff variation of parameters
nth linear constant coeff variation of parameters Integral