Sr Examen
Ecuación diferencial y''-4*y'+7*y=14*sin(x)+3
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
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Solución
Ha introducido
[src]
2
d d
- 4*--(y(x)) + 7*y(x) + ---(y(x)) = 3 + 14*sin(x)
dx 2
dx
$$7 y{\left(x \right)} - 4 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 14 \sin{\left(x \right)} + 3$$
7*y - 4*y' + y'' = 14*sin(x) + 3
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$7 y{\left(x \right)} - 4 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 14 \sin{\left(x \right)} + 3$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$p = -4$$
$$q = 7$$
$$s = - 14 \sin{\left(x \right)} - 3$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - 4 k + 7 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = 2 - \sqrt{3} i$$
$$k_{2} = 2 + \sqrt{3} i$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(2 - \sqrt{3} i\right)} + C_{2} e^{x \left(2 + \sqrt{3} i\right)}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(2 - \sqrt{3} i\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(2 + \sqrt{3} i\right)}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(x*(2 - sqrt(3)*i)) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(x*(2 + sqrt(3)*i)) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = 14 \sin{\left(x \right)} + 3$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{x \left(2 - \sqrt{3} i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(2 + \sqrt{3} i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(2 - \sqrt{3} i\right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(2 + \sqrt{3} i\right)} = 14 \sin{\left(x \right)} + 3$$
o
$$e^{x \left(2 - \sqrt{3} i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(2 + \sqrt{3} i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(2 - \sqrt{3} i\right) e^{x \left(2 - \sqrt{3} i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \left(2 + \sqrt{3} i\right) e^{x \left(2 + \sqrt{3} i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 14 \sin{\left(x \right)} + 3$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{3} i \left(14 \sin{\left(x \right)} + 3\right) e^{x \left(-2 + \sqrt{3} i\right)}}{6}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{3} i \left(14 \sin{\left(x \right)} + 3\right) e^{- x \left(2 + \sqrt{3} i\right)}}{6}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \frac{\sqrt{3} i \left(14 \sin{\left(x \right)} + 3\right) e^{x \left(-2 + \sqrt{3} i\right)}}{6}\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(- \frac{\sqrt{3} i \left(14 \sin{\left(x \right)} + 3\right) e^{- x \left(2 + \sqrt{3} i\right)}}{6}\right)\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \frac{\sqrt{3} i \left(- \frac{6559 e^{\sqrt{3} i x} \sin{\left(x \right)}}{1670 e^{2 x} + 131 \sqrt{3} i e^{2 x}} - \frac{3262 \sqrt{3} i e^{\sqrt{3} i x} \sin{\left(x \right)}}{1670 e^{2 x} + 131 \sqrt{3} i e^{2 x}} - \frac{476 e^{\sqrt{3} i x} \cos{\left(x \right)}}{1670 e^{2 x} + 131 \sqrt{3} i e^{2 x}} - \frac{1869 \sqrt{3} i e^{\sqrt{3} i x} \cos{\left(x \right)}}{1670 e^{2 x} + 131 \sqrt{3} i e^{2 x}} - \frac{1263 e^{\sqrt{3} i x}}{1670 e^{2 x} + 131 \sqrt{3} i e^{2 x}} - \frac{828 \sqrt{3} i e^{\sqrt{3} i x}}{1670 e^{2 x} + 131 \sqrt{3} i e^{2 x}}\right)}{6}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} - \frac{\sqrt{3} i \left(- \frac{45703 \sin{\left(x \right)}}{3242 e^{2 x} e^{\sqrt{3} i x} + 6549 \sqrt{3} i e^{2 x} e^{\sqrt{3} i x}} - \frac{22974 \sqrt{3} i \sin{\left(x \right)}}{3242 e^{2 x} e^{\sqrt{3} i x} + 6549 \sqrt{3} i e^{2 x} e^{\sqrt{3} i x}} - \frac{22904 \cos{\left(x \right)}}{3242 e^{2 x} e^{\sqrt{3} i x} + 6549 \sqrt{3} i e^{2 x} e^{\sqrt{3} i x}} - \frac{35 \sqrt{3} i \cos{\left(x \right)}}{3242 e^{2 x} e^{\sqrt{3} i x} + 6549 \sqrt{3} i e^{2 x} e^{\sqrt{3} i x}} - \frac{11199}{3242 e^{2 x} e^{\sqrt{3} i x} + 6549 \sqrt{3} i e^{2 x} e^{\sqrt{3} i x}} - \frac{4224 \sqrt{3} i}{3242 e^{2 x} e^{\sqrt{3} i x} + 6549 \sqrt{3} i e^{2 x} e^{\sqrt{3} i x}}\right)}{6}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(2 - \sqrt{3} i\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(2 + \sqrt{3} i\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{2 x} e^{- \sqrt{3} i x} + C_{4} e^{2 x} e^{\sqrt{3} i x} + \frac{1631 e^{2 x} \sin{\left(x \right)}}{1670 e^{2 x} + 131 \sqrt{3} i e^{2 x}} - \frac{6559 \sqrt{3} i e^{2 x} \sin{\left(x \right)}}{6 \left(1670 e^{2 x} + 131 \sqrt{3} i e^{2 x}\right)} + \frac{1869 e^{2 x} \cos{\left(x \right)}}{2 \left(1670 e^{2 x} + 131 \sqrt{3} i e^{2 x}\right)} - \frac{238 \sqrt{3} i e^{2 x} \cos{\left(x \right)}}{3 \left(1670 e^{2 x} + 131 \sqrt{3} i e^{2 x}\right)} + \frac{414 e^{2 x}}{1670 e^{2 x} + 131 \sqrt{3} i e^{2 x}} - \frac{421 \sqrt{3} i e^{2 x}}{2 \left(1670 e^{2 x} + 131 \sqrt{3} i e^{2 x}\right)} - \frac{11487 e^{2 x} e^{\sqrt{3} i x} \sin{\left(x \right)}}{3242 e^{2 x} e^{\sqrt{3} i x} + 6549 \sqrt{3} i e^{2 x} e^{\sqrt{3} i x}} + \frac{45703 \sqrt{3} i e^{2 x} e^{\sqrt{3} i x} \sin{\left(x \right)}}{6 \left(3242 e^{2 x} e^{\sqrt{3} i x} + 6549 \sqrt{3} i e^{2 x} e^{\sqrt{3} i x}\right)} - \frac{35 e^{2 x} e^{\sqrt{3} i x} \cos{\left(x \right)}}{2 \left(3242 e^{2 x} e^{\sqrt{3} i x} + 6549 \sqrt{3} i e^{2 x} e^{\sqrt{3} i x}\right)} + \frac{11452 \sqrt{3} i e^{2 x} e^{\sqrt{3} i x} \cos{\left(x \right)}}{3 \left(3242 e^{2 x} e^{\sqrt{3} i x} + 6549 \sqrt{3} i e^{2 x} e^{\sqrt{3} i x}\right)} - \frac{2112 e^{2 x} e^{\sqrt{3} i x}}{3242 e^{2 x} e^{\sqrt{3} i x} + 6549 \sqrt{3} i e^{2 x} e^{\sqrt{3} i x}} + \frac{3733 \sqrt{3} i e^{2 x} e^{\sqrt{3} i x}}{2 \left(3242 e^{2 x} e^{\sqrt{3} i x} + 6549 \sqrt{3} i e^{2 x} e^{\sqrt{3} i x}\right)}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
$$7 y{\left(x \right)} - 4 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 14 \sin{\left(x \right)} + 3$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = s,
donde
$$p = -4$$
$$q = 7$$
$$s = - 14 \sin{\left(x \right)} - 3$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - 4 k + 7 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = 2 - \sqrt{3} i$$
$$k_{2} = 2 + \sqrt{3} i$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(2 - \sqrt{3} i\right)} + C_{2} e^{x \left(2 + \sqrt{3} i\right)}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
y'' + p*y' + q*y = s
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(2 - \sqrt{3} i\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(2 + \sqrt{3} i\right)}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(x*(2 - sqrt(3)*i)) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(x*(2 + sqrt(3)*i)) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = 14 \sin{\left(x \right)} + 3$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{x \left(2 - \sqrt{3} i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(2 + \sqrt{3} i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(2 - \sqrt{3} i\right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(2 + \sqrt{3} i\right)} = 14 \sin{\left(x \right)} + 3$$
o
$$e^{x \left(2 - \sqrt{3} i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(2 + \sqrt{3} i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(2 - \sqrt{3} i\right) e^{x \left(2 - \sqrt{3} i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \left(2 + \sqrt{3} i\right) e^{x \left(2 + \sqrt{3} i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 14 \sin{\left(x \right)} + 3$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{3} i \left(14 \sin{\left(x \right)} + 3\right) e^{x \left(-2 + \sqrt{3} i\right)}}{6}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{3} i \left(14 \sin{\left(x \right)} + 3\right) e^{- x \left(2 + \sqrt{3} i\right)}}{6}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \frac{\sqrt{3} i \left(14 \sin{\left(x \right)} + 3\right) e^{x \left(-2 + \sqrt{3} i\right)}}{6}\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(- \frac{\sqrt{3} i \left(14 \sin{\left(x \right)} + 3\right) e^{- x \left(2 + \sqrt{3} i\right)}}{6}\right)\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \frac{\sqrt{3} i \left(- \frac{6559 e^{\sqrt{3} i x} \sin{\left(x \right)}}{1670 e^{2 x} + 131 \sqrt{3} i e^{2 x}} - \frac{3262 \sqrt{3} i e^{\sqrt{3} i x} \sin{\left(x \right)}}{1670 e^{2 x} + 131 \sqrt{3} i e^{2 x}} - \frac{476 e^{\sqrt{3} i x} \cos{\left(x \right)}}{1670 e^{2 x} + 131 \sqrt{3} i e^{2 x}} - \frac{1869 \sqrt{3} i e^{\sqrt{3} i x} \cos{\left(x \right)}}{1670 e^{2 x} + 131 \sqrt{3} i e^{2 x}} - \frac{1263 e^{\sqrt{3} i x}}{1670 e^{2 x} + 131 \sqrt{3} i e^{2 x}} - \frac{828 \sqrt{3} i e^{\sqrt{3} i x}}{1670 e^{2 x} + 131 \sqrt{3} i e^{2 x}}\right)}{6}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} - \frac{\sqrt{3} i \left(- \frac{45703 \sin{\left(x \right)}}{3242 e^{2 x} e^{\sqrt{3} i x} + 6549 \sqrt{3} i e^{2 x} e^{\sqrt{3} i x}} - \frac{22974 \sqrt{3} i \sin{\left(x \right)}}{3242 e^{2 x} e^{\sqrt{3} i x} + 6549 \sqrt{3} i e^{2 x} e^{\sqrt{3} i x}} - \frac{22904 \cos{\left(x \right)}}{3242 e^{2 x} e^{\sqrt{3} i x} + 6549 \sqrt{3} i e^{2 x} e^{\sqrt{3} i x}} - \frac{35 \sqrt{3} i \cos{\left(x \right)}}{3242 e^{2 x} e^{\sqrt{3} i x} + 6549 \sqrt{3} i e^{2 x} e^{\sqrt{3} i x}} - \frac{11199}{3242 e^{2 x} e^{\sqrt{3} i x} + 6549 \sqrt{3} i e^{2 x} e^{\sqrt{3} i x}} - \frac{4224 \sqrt{3} i}{3242 e^{2 x} e^{\sqrt{3} i x} + 6549 \sqrt{3} i e^{2 x} e^{\sqrt{3} i x}}\right)}{6}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(2 - \sqrt{3} i\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(2 + \sqrt{3} i\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{2 x} e^{- \sqrt{3} i x} + C_{4} e^{2 x} e^{\sqrt{3} i x} + \frac{1631 e^{2 x} \sin{\left(x \right)}}{1670 e^{2 x} + 131 \sqrt{3} i e^{2 x}} - \frac{6559 \sqrt{3} i e^{2 x} \sin{\left(x \right)}}{6 \left(1670 e^{2 x} + 131 \sqrt{3} i e^{2 x}\right)} + \frac{1869 e^{2 x} \cos{\left(x \right)}}{2 \left(1670 e^{2 x} + 131 \sqrt{3} i e^{2 x}\right)} - \frac{238 \sqrt{3} i e^{2 x} \cos{\left(x \right)}}{3 \left(1670 e^{2 x} + 131 \sqrt{3} i e^{2 x}\right)} + \frac{414 e^{2 x}}{1670 e^{2 x} + 131 \sqrt{3} i e^{2 x}} - \frac{421 \sqrt{3} i e^{2 x}}{2 \left(1670 e^{2 x} + 131 \sqrt{3} i e^{2 x}\right)} - \frac{11487 e^{2 x} e^{\sqrt{3} i x} \sin{\left(x \right)}}{3242 e^{2 x} e^{\sqrt{3} i x} + 6549 \sqrt{3} i e^{2 x} e^{\sqrt{3} i x}} + \frac{45703 \sqrt{3} i e^{2 x} e^{\sqrt{3} i x} \sin{\left(x \right)}}{6 \left(3242 e^{2 x} e^{\sqrt{3} i x} + 6549 \sqrt{3} i e^{2 x} e^{\sqrt{3} i x}\right)} - \frac{35 e^{2 x} e^{\sqrt{3} i x} \cos{\left(x \right)}}{2 \left(3242 e^{2 x} e^{\sqrt{3} i x} + 6549 \sqrt{3} i e^{2 x} e^{\sqrt{3} i x}\right)} + \frac{11452 \sqrt{3} i e^{2 x} e^{\sqrt{3} i x} \cos{\left(x \right)}}{3 \left(3242 e^{2 x} e^{\sqrt{3} i x} + 6549 \sqrt{3} i e^{2 x} e^{\sqrt{3} i x}\right)} - \frac{2112 e^{2 x} e^{\sqrt{3} i x}}{3242 e^{2 x} e^{\sqrt{3} i x} + 6549 \sqrt{3} i e^{2 x} e^{\sqrt{3} i x}} + \frac{3733 \sqrt{3} i e^{2 x} e^{\sqrt{3} i x}}{2 \left(3242 e^{2 x} e^{\sqrt{3} i x} + 6549 \sqrt{3} i e^{2 x} e^{\sqrt{3} i x}\right)}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
Respuesta
[src]
3 14*cos(x) 21*sin(x) / / ___\ / ___\\ 2*x
y(x) = - + --------- + --------- + \C1*sin\x*\/ 3 / + C2*cos\x*\/ 3 //*e
7 13 13
$$y{\left(x \right)} = \left(C_{1} \sin{\left(\sqrt{3} x \right)} + C_{2} \cos{\left(\sqrt{3} x \right)}\right) e^{2 x} + \frac{21 \sin{\left(x \right)}}{13} + \frac{14 \cos{\left(x \right)}}{13} + \frac{3}{7}$$
Clasificación
nth linear constant coeff undetermined coefficients
nth linear constant coeff variation of parameters
nth linear constant coeff variation of parameters Integral