Sr Examen
Ecuación diferencial x√(1-y^2)dx+y√(1-x^2)dy=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
___________ ________
/ 2 / 2 d
x*\/ 1 - y (x) + \/ 1 - x *--(y(x))*y(x) = 0
dx
$$x \sqrt{1 - y^{2}{\left(x \right)}} + \sqrt{1 - x^{2}} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
x*sqrt(1 - y^2) + sqrt(1 - x^2)*y*y' = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x \sqrt{1 - y^{2}{\left(x \right)}} + \sqrt{1 - x^{2}} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = \sqrt{1 - x^{2}}$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \sqrt{1 - y^{2}{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en f1(x)
$$\sqrt{1 - x^{2}}$$
obtendremos
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{x \sqrt{1 - y^{2}{\left(x \right)}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\sqrt{1 - y^{2}{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - y^{2}{\left(x \right)}}} = - \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - y^{2}{\left(x \right)}}} = - \frac{dx x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$
o
$$\frac{dy y{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - y^{2}{\left(x \right)}}} = - \frac{dx x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{y}{\sqrt{1 - y^{2}}}\, dy = \int \left(- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \sqrt{1 - y^{2}} = Const + \sqrt{1 - x^{2}}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{- C_{1}^{2} - 2 C_{1} \sqrt{1 - x^{2}} + x^{2}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{- C_{1}^{2} - 2 C_{1} \sqrt{1 - x^{2}} + x^{2}}$$
$$x \sqrt{1 - y^{2}{\left(x \right)}} + \sqrt{1 - x^{2}} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = \sqrt{1 - x^{2}}$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \sqrt{1 - y^{2}{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en f1(x)
$$\sqrt{1 - x^{2}}$$
obtendremos
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{x \sqrt{1 - y^{2}{\left(x \right)}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\sqrt{1 - y^{2}{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - y^{2}{\left(x \right)}}} = - \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - y^{2}{\left(x \right)}}} = - \frac{dx x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$
o
$$\frac{dy y{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - y^{2}{\left(x \right)}}} = - \frac{dx x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{y}{\sqrt{1 - y^{2}}}\, dy = \int \left(- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \sqrt{1 - y^{2}} = Const + \sqrt{1 - x^{2}}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{- C_{1}^{2} - 2 C_{1} \sqrt{1 - x^{2}} + x^{2}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{- C_{1}^{2} - 2 C_{1} \sqrt{1 - x^{2}} + x^{2}}$$
Respuesta
[src]
_____________________________
/ ________
/ 2 2 / 2
y(x) = -\/ x - C1 - 2*C1*\/ 1 - x
$$y{\left(x \right)} = - \sqrt{- C_{1}^{2} - 2 C_{1} \sqrt{1 - x^{2}} + x^{2}}$$
_____________________________
/ ________
/ 2 2 / 2
y(x) = \/ x - C1 - 2*C1*\/ 1 - x
$$y{\left(x \right)} = \sqrt{- C_{1}^{2} - 2 C_{1} \sqrt{1 - x^{2}} + x^{2}}$$
Clasificación
separable
1st power series
lie group
separable Integral