Sr Examen
Ecuación diferencial dy/y^7=x^5dx
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d --(y(x)) dx 5 -------- = x 7 y (x)
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{7}{\left(x \right)}} = x^{5}$$
y'/y^7 = x^5
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{7}{\left(x \right)}} = x^{5}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x^{5}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - y^{7}{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- y^{7}{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{7}{\left(x \right)}} = - x^{5}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{7}{\left(x \right)}} = - dx x^{5}$$
o
$$- \frac{dy}{y^{7}{\left(x \right)}} = - dx x^{5}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{y^{7}}\right)\, dy = \int \left(- x^{5}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{1}{6 y^{6}} = Const - \frac{x^{6}}{6}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt[6]{- \frac{1}{C_{1} + x^{6}}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt[6]{- \frac{1}{C_{1} + x^{6}}}$$
$$\operatorname{y_{3}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt[6]{- \frac{1}{C_{1} + x^{6}}} \left(-1 - \sqrt{3} i\right)}{2}$$
$$\operatorname{y_{4}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt[6]{- \frac{1}{C_{1} + x^{6}}} \left(-1 + \sqrt{3} i\right)}{2}$$
$$\operatorname{y_{5}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt[6]{- \frac{1}{C_{1} + x^{6}}} \left(1 - \sqrt{3} i\right)}{2}$$
$$\operatorname{y_{6}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt[6]{- \frac{1}{C_{1} + x^{6}}} \left(1 + \sqrt{3} i\right)}{2}$$
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{7}{\left(x \right)}} = x^{5}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x^{5}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - y^{7}{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- y^{7}{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{7}{\left(x \right)}} = - x^{5}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{7}{\left(x \right)}} = - dx x^{5}$$
o
$$- \frac{dy}{y^{7}{\left(x \right)}} = - dx x^{5}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{y^{7}}\right)\, dy = \int \left(- x^{5}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{1}{6 y^{6}} = Const - \frac{x^{6}}{6}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt[6]{- \frac{1}{C_{1} + x^{6}}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt[6]{- \frac{1}{C_{1} + x^{6}}}$$
$$\operatorname{y_{3}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt[6]{- \frac{1}{C_{1} + x^{6}}} \left(-1 - \sqrt{3} i\right)}{2}$$
$$\operatorname{y_{4}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt[6]{- \frac{1}{C_{1} + x^{6}}} \left(-1 + \sqrt{3} i\right)}{2}$$
$$\operatorname{y_{5}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt[6]{- \frac{1}{C_{1} + x^{6}}} \left(1 - \sqrt{3} i\right)}{2}$$
$$\operatorname{y_{6}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt[6]{- \frac{1}{C_{1} + x^{6}}} \left(1 + \sqrt{3} i\right)}{2}$$
Respuesta
[src]
_________
/ -1
y(x) = - / -------
6 / 6
\/ C1 + x
$$y{\left(x \right)} = - \sqrt[6]{- \frac{1}{C_{1} + x^{6}}}$$
_________
/ -1
y(x) = / -------
6 / 6
\/ C1 + x
$$y{\left(x \right)} = \sqrt[6]{- \frac{1}{C_{1} + x^{6}}}$$
_________
/ -1 / ___\
/ ------- *\-1 - I*\/ 3 /
6 / 6
\/ C1 + x
y(x) = -----------------------------
2
$$y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt[6]{- \frac{1}{C_{1} + x^{6}}} \left(-1 - \sqrt{3} i\right)}{2}$$
_________
/ -1 / ___\
/ ------- *\-1 + I*\/ 3 /
6 / 6
\/ C1 + x
y(x) = -----------------------------
2
$$y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt[6]{- \frac{1}{C_{1} + x^{6}}} \left(-1 + \sqrt{3} i\right)}{2}$$
_________
/ -1 / ___\
/ ------- *\1 - I*\/ 3 /
6 / 6
\/ C1 + x
y(x) = ----------------------------
2
$$y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt[6]{- \frac{1}{C_{1} + x^{6}}} \left(1 - \sqrt{3} i\right)}{2}$$
_________
/ -1 / ___\
/ ------- *\1 + I*\/ 3 /
6 / 6
\/ C1 + x
y(x) = ----------------------------
2
$$y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt[6]{- \frac{1}{C_{1} + x^{6}}} \left(1 + \sqrt{3} i\right)}{2}$$
Clasificación
separable
1st exact
Bernoulli
separable reduced
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Bernoulli Integral
separable reduced Integral