Tenemos la ecuación:
$$\frac{2 x}{\cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}} + y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{2}{y{\left(x \right)} \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{2}{y{\left(x \right)} \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{y{\left(x \right)} \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{2} = - x$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx y{\left(x \right)} \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{2} = - dx x$$
o
$$\frac{dy y{\left(x \right)} \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{2} = - dx x$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{y \cos{\left(y \right)}}{2}\, dy = \int \left(- x\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con ySolución detallada de la integral con xTomemos estas integrales
$$\frac{y \sin{\left(y \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(y \right)}}{2} = Const - \frac{x^{2}}{2}$$
Solución detallada de una ecuación simpleHemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = x^{2} + y{\left(x \right)} \sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} = C_{1}$$