Sr Examen
Ecuación diferencial d^2*x/((d*t^2))-4*((dx)/(dt))-5x=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
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2
d d
-5*x(t) - 4*--(x(t)) + ---(x(t)) = 0
dt 2
dt
$$- 5 x{\left(t \right)} - 4 \frac{d}{d t} x{\left(t \right)} + \frac{d^{2}}{d t^{2}} x{\left(t \right)} = 0$$
-5*x - 4*x' + x'' = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$- 5 x{\left(t \right)} - 4 \frac{d}{d t} x{\left(t \right)} + \frac{d^{2}}{d t^{2}} x{\left(t \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$p = -4$$
$$q = -5$$
Se llama lineal homogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - 4 k - 5 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = -1$$
$$k_{2} = 5$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
y las raíces no tienen una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$x{\left(t \right)} = C_{1} e^{k_{1} t} + C_{2} e^{k_{2} t}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x{\left(t \right)} = C_{1} e^{- t} + C_{2} e^{5 t}$$
$$- 5 x{\left(t \right)} - 4 \frac{d}{d t} x{\left(t \right)} + \frac{d^{2}}{d t^{2}} x{\left(t \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = 0,
donde
$$p = -4$$
$$q = -5$$
Se llama lineal homogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - 4 k - 5 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = -1$$
$$k_{2} = 5$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
y las raíces no tienen una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$x{\left(t \right)} = C_{1} e^{k_{1} t} + C_{2} e^{k_{2} t}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x{\left(t \right)} = C_{1} e^{- t} + C_{2} e^{5 t}$$
Clasificación
nth linear constant coeff homogeneous
2nd power series ordinary