Sr Examen
Ecuación diferencial 3dy=(1-3y^3)ysinxdx
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d 4 3*--(y(x)) = sin(x)*y(x) - 3*y (x)*sin(x) dx
$$3 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - 3 y^{4}{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)}$$
3*y' = -3*y^4*sin(x) + y*sin(x)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$3 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - 3 y^{4}{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{\left(1 - 3 y^{3}{\left(x \right)}\right) y{\left(x \right)}}{3}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{\left(1 - 3 y^{3}{\left(x \right)}\right) y{\left(x \right)}}{3}$$
obtendremos
$$\frac{3 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{3 y^{4}{\left(x \right)} - y{\left(x \right)}} = - \sin{\left(x \right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{3 dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{3 y^{4}{\left(x \right)} - y{\left(x \right)}} = - dx \sin{\left(x \right)}$$
o
$$\frac{3 dy}{3 y^{4}{\left(x \right)} - y{\left(x \right)}} = - dx \sin{\left(x \right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{3}{3 y^{4} - y}\, dy = \int \left(- \sin{\left(x \right)}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- 3 \log{\left(y \right)} + \log{\left(3 y^{3} - 1 \right)} = Const + \cos{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \sqrt[3]{- \frac{1}{C_{1} e^{\cos{\left(x \right)}} - 3}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt[3]{- \frac{1}{C_{1} e^{\cos{\left(x \right)}} - 3}} \left(-1 + \sqrt{3} i\right)}{2}$$
$$\operatorname{y_{3}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt[3]{- \frac{1}{C_{1} e^{\cos{\left(x \right)}} - 3}} \left(-1 - \sqrt{3} i\right)}{2}$$
$$3 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - 3 y^{4}{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{\left(1 - 3 y^{3}{\left(x \right)}\right) y{\left(x \right)}}{3}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{\left(1 - 3 y^{3}{\left(x \right)}\right) y{\left(x \right)}}{3}$$
obtendremos
$$\frac{3 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{3 y^{4}{\left(x \right)} - y{\left(x \right)}} = - \sin{\left(x \right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{3 dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{3 y^{4}{\left(x \right)} - y{\left(x \right)}} = - dx \sin{\left(x \right)}$$
o
$$\frac{3 dy}{3 y^{4}{\left(x \right)} - y{\left(x \right)}} = - dx \sin{\left(x \right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{3}{3 y^{4} - y}\, dy = \int \left(- \sin{\left(x \right)}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- 3 \log{\left(y \right)} + \log{\left(3 y^{3} - 1 \right)} = Const + \cos{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \sqrt[3]{- \frac{1}{C_{1} e^{\cos{\left(x \right)}} - 3}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt[3]{- \frac{1}{C_{1} e^{\cos{\left(x \right)}} - 3}} \left(-1 + \sqrt{3} i\right)}{2}$$
$$\operatorname{y_{3}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt[3]{- \frac{1}{C_{1} e^{\cos{\left(x \right)}} - 3}} \left(-1 - \sqrt{3} i\right)}{2}$$
Respuesta
[src]
_________________
/ -1
y(x) = / ---------------
3 / cos(x)
\/ -3 + C1*e
$$y{\left(x \right)} = \sqrt[3]{- \frac{1}{C_{1} e^{\cos{\left(x \right)}} - 3}}$$
_________________
/ -1 / ___\
/ --------------- *\-1 + I*\/ 3 /
3 / cos(x)
\/ -3 + C1*e
y(x) = -------------------------------------
2
$$y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt[3]{- \frac{1}{C_{1} e^{\cos{\left(x \right)}} - 3}} \left(-1 + \sqrt{3} i\right)}{2}$$
_________________
/ -1 / ___\
/ --------------- *\-1 - I*\/ 3 /
3 / cos(x)
\/ -3 + C1*e
y(x) = -------------------------------------
2
$$y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt[3]{- \frac{1}{C_{1} e^{\cos{\left(x \right)}} - 3}} \left(-1 - \sqrt{3} i\right)}{2}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
1st exact
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 0.8880980709333703)
(-5.555555555555555, 26445.904801464454)
(-3.333333333333333, nan)
(-1.1111111111111107, 3.695430796e-315)
(1.1111111111111107, 2.44844136553879e+184)
(3.333333333333334, 4.431239910112164e+175)
(5.555555555555557, 8.735934836677916e+189)
(7.777777777777779, 2.5718481162063698e+151)
(10.0, -3.127441380144104e-210)
(10.0, -3.127441380144104e-210)