Sr Examen
Ecuación diferencial xsqrt(1-y^2)+ysqrt(1+x^2)y’=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
___________ ________
/ 2 / 2 d
x*\/ 1 - y (x) + \/ 1 + x *--(y(x))*y(x) = 0
dx
$$x \sqrt{1 - y^{2}{\left(x \right)}} + \sqrt{x^{2} + 1} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
x*sqrt(1 - y^2) + sqrt(x^2 + 1)*y*y' = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x \sqrt{1 - y^{2}{\left(x \right)}} + \sqrt{x^{2} + 1} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = \sqrt{x^{2} + 1}$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \sqrt{1 - y^{2}{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en f1(x)
$$\sqrt{x^{2} + 1}$$
obtendremos
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{x \sqrt{1 - y^{2}{\left(x \right)}}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\sqrt{1 - y^{2}{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - y^{2}{\left(x \right)}}} = - \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - y^{2}{\left(x \right)}}} = - \frac{dx x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$
o
$$\frac{dy y{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - y^{2}{\left(x \right)}}} = - \frac{dx x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{y}{\sqrt{1 - y^{2}}}\, dy = \int \left(- \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \sqrt{1 - y^{2}} = Const - \sqrt{x^{2} + 1}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{- C_{1}^{2} + 2 C_{1} \sqrt{x^{2} + 1} - x^{2}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{- C_{1}^{2} + 2 C_{1} \sqrt{x^{2} + 1} - x^{2}}$$
$$x \sqrt{1 - y^{2}{\left(x \right)}} + \sqrt{x^{2} + 1} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = \sqrt{x^{2} + 1}$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \sqrt{1 - y^{2}{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en f1(x)
$$\sqrt{x^{2} + 1}$$
obtendremos
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{x \sqrt{1 - y^{2}{\left(x \right)}}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\sqrt{1 - y^{2}{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - y^{2}{\left(x \right)}}} = - \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - y^{2}{\left(x \right)}}} = - \frac{dx x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$
o
$$\frac{dy y{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - y^{2}{\left(x \right)}}} = - \frac{dx x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{y}{\sqrt{1 - y^{2}}}\, dy = \int \left(- \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \sqrt{1 - y^{2}} = Const - \sqrt{x^{2} + 1}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{- C_{1}^{2} + 2 C_{1} \sqrt{x^{2} + 1} - x^{2}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{- C_{1}^{2} + 2 C_{1} \sqrt{x^{2} + 1} - x^{2}}$$
Respuesta
[src]
_______________________________
/ ________
/ 2 2 / 2
y(x) = -\/ - C1 - x + 2*C1*\/ 1 + x
$$y{\left(x \right)} = - \sqrt{- C_{1}^{2} + 2 C_{1} \sqrt{x^{2} + 1} - x^{2}}$$
_______________________________
/ ________
/ 2 2 / 2
y(x) = \/ - C1 - x + 2*C1*\/ 1 + x
$$y{\left(x \right)} = \sqrt{- C_{1}^{2} + 2 C_{1} \sqrt{x^{2} + 1} - x^{2}}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
1st power series
lie group
separable Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, nan)
(-5.555555555555555, nan)
(-3.333333333333333, nan)
(-1.1111111111111107, nan)
(1.1111111111111107, nan)
(3.333333333333334, nan)
(5.555555555555557, nan)
(7.777777777777779, nan)
(10.0, nan)
(10.0, nan)