Sr Examen
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-
¿Cómo usar?
- Ecuación diferencial:
- Ecuación x^3*y'=2*y
- Ecuación y"+3y'-4y=0
- Ecuación y''-3y'+2y=x+1
- Ecuación y"-3y'=0
- Derivada de:
-
dy/dx
-
Expresiones idénticas
- dy/dx=(y-4x)^ dos
- dy dividir por dx es igual a (y menos 4x) al cuadrado
- dy dividir por dx es igual a (y menos 4x) en el grado dos
- dy/dx=(y-4x)2
- dy/dx=y-4x2
- dy/dx=(y-4x)²
- dy/dx=(y-4x) en el grado 2
- dy/dx=y-4x^2
- dy dividir por dx=(y-4x)^2
-
Expresiones semejantes
- dy/dx=(y+4x)^2
-
Expresiones con funciones
- dy
- dy/dx=-(y+1)÷(x+2y)
- dy=((4x^5)×(y^3))×dx
- dy/dx-y=-cos(x)y^2
- dy/dx=-(×^2+y^2)/2xy
- dy−3^2ydx=0
- dx
- dx*(4-y^2/x^2)+2*dy*y/x=0
- dx*x=dy*(x^2/y-y^2)
- dx*(3*x^2*y-y)+dy*(x^3-x+2*y)=0
- dx*(2*x*y^2+5*y^2)+15*dy=0
- dx*x*(y^2+5)-dy*e^x*y=0
Ecuación diferencial dy/dx=(y-4x)^2
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d 2 --(y(x)) = (-4*x + y(x)) dx
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \left(- 4 x + y{\left(x \right)}\right)^{2}$$
y' = (-4*x + y)^2
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$- \left(- 4 x + y{\left(x \right)}\right)^{2} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = - 4 x + y{\left(x \right)}$$
y porque
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 4 = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + 4$$
sustituimos
$$- 16 x^{2} + 8 x \left(4 x + u{\left(x \right)}\right) - \left(4 x + u{\left(x \right)}\right)^{2} + \frac{d}{d x} \left(4 x + u{\left(x \right)}\right) = 0$$
o
$$- u^{2}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + 4 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = 4 - u^{2}{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$4 - u^{2}{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)} - 4} = -1$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)} - 4} = - dx$$
o
$$- \frac{du}{u^{2}{\left(x \right)} - 4} = - dx$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{u^{2} - 4}\right)\, du = \int \left(-1\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\log{\left(u - 2 \right)}}{4} + \frac{\log{\left(u + 2 \right)}}{4} = Const - x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = \frac{2}{\tanh{\left(C_{1} - 2 x \right)}}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = 4 x + u{\left(x \right)}$$
$$y1 = y(x) = 4 x + \frac{2}{\tanh{\left(C_{1} - 2 x \right)}}$$
$$- \left(- 4 x + y{\left(x \right)}\right)^{2} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = - 4 x + y{\left(x \right)}$$
y porque
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 4 = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + 4$$
sustituimos
$$- 16 x^{2} + 8 x \left(4 x + u{\left(x \right)}\right) - \left(4 x + u{\left(x \right)}\right)^{2} + \frac{d}{d x} \left(4 x + u{\left(x \right)}\right) = 0$$
o
$$- u^{2}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + 4 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = 4 - u^{2}{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$4 - u^{2}{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)} - 4} = -1$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)} - 4} = - dx$$
o
$$- \frac{du}{u^{2}{\left(x \right)} - 4} = - dx$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{u^{2} - 4}\right)\, du = \int \left(-1\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\log{\left(u - 2 \right)}}{4} + \frac{\log{\left(u + 2 \right)}}{4} = Const - x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = \frac{2}{\tanh{\left(C_{1} - 2 x \right)}}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = 4 x + u{\left(x \right)}$$
$$y1 = y(x) = 4 x + \frac{2}{\tanh{\left(C_{1} - 2 x \right)}}$$
Respuesta
[src]
3 / 2 2 / 2\\ 5 / 2 2 / 2 2 / 2\ 2 / 2\\ 2 / 2\ 2 / 2\\ 4 / 2 2 / 2\\
2 x *\16 - 12*C1 + C1 *\-4 + 3*C1 // x *\-128 + 144*C1 + C1 *\32 - 36*C1 + C1 *\-8 + 9*C1 / + 2*C1 *\-8 + 3*C1 // - 8*C1 *\-8 + 3*C1 / + 4*C1 *\8 - 9*C1 // 2 / 2\ C1*x *\32 - 12*C1 + C1 *\-8 + 3*C1 // / 6\
y(x) = C1 + x*C1 + ----------------------------------- + ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ + C1*x *\-4 + C1 / + -------------------------------------- + O\x /
3 15 3
$$y{\left(x \right)} = \frac{x^{3} \left(C_{1}^{2} \left(3 C_{1}^{2} - 4\right) - 12 C_{1}^{2} + 16\right)}{3} + \frac{x^{5} \left(4 C_{1}^{2} \left(8 - 9 C_{1}^{2}\right) - 8 C_{1}^{2} \left(3 C_{1}^{2} - 8\right) + C_{1}^{2} \left(2 C_{1}^{2} \left(3 C_{1}^{2} - 8\right) + C_{1}^{2} \left(9 C_{1}^{2} - 8\right) - 36 C_{1}^{2} + 32\right) + 144 C_{1}^{2} - 128\right)}{15} + C_{1} + C_{1} x^{2} \left(C_{1}^{2} - 4\right) + \frac{C_{1} x^{4} \left(C_{1}^{2} \left(3 C_{1}^{2} - 8\right) - 12 C_{1}^{2} + 32\right)}{3} + C_{1}^{2} x + O\left(x^{6}\right)$$
Clasificación
1st power series
lie group