Sr Examen
Ecuación diferencial sqrt(3*x^2-8*x)*y'=(3*x-1)*(tg(y))^2
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\sqrt{3 x^{2} - 8 x} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \left(3 x - 1\right) \tan^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{3 x - 1}{\sqrt{x \left(3 x - 8\right)}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \tan^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\tan^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\tan^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = \frac{3 x - 1}{\sqrt{x \left(3 x - 8\right)}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\tan^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = \frac{dx \left(3 x - 1\right)}{\sqrt{x \left(3 x - 8\right)}}$$
o
$$\frac{dy}{\tan^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = \frac{dx \left(3 x - 1\right)}{\sqrt{x \left(3 x - 8\right)}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\tan^{2}{\left(y \right)}}\, dy = \int \frac{3 x - 1}{\sqrt{x \left(3 x - 8\right)}}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- y - \frac{\cos{\left(y \right)}}{\sin{\left(y \right)}} = Const + \int \frac{3 x - 1}{\sqrt{x \left(3 x - 8\right)}}\, dx$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = - y{\left(x \right)} - \int \frac{3 x - 1}{\sqrt{x \left(3 x - 8\right)}}\, dx - \frac{\cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{\sin{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = C_{1}$$
$$\sqrt{3 x^{2} - 8 x} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \left(3 x - 1\right) \tan^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{3 x - 1}{\sqrt{x \left(3 x - 8\right)}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \tan^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\tan^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\tan^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = \frac{3 x - 1}{\sqrt{x \left(3 x - 8\right)}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\tan^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = \frac{dx \left(3 x - 1\right)}{\sqrt{x \left(3 x - 8\right)}}$$
o
$$\frac{dy}{\tan^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = \frac{dx \left(3 x - 1\right)}{\sqrt{x \left(3 x - 8\right)}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\tan^{2}{\left(y \right)}}\, dy = \int \frac{3 x - 1}{\sqrt{x \left(3 x - 8\right)}}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- y - \frac{\cos{\left(y \right)}}{\sin{\left(y \right)}} = Const + \int \frac{3 x - 1}{\sqrt{x \left(3 x - 8\right)}}\, dx$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = - y{\left(x \right)} - \int \frac{3 x - 1}{\sqrt{x \left(3 x - 8\right)}}\, dx - \frac{\cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{\sin{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = C_{1}$$
Respuesta
[src]
/ | | -1 + 3*x cos(y(x)) - | ---------------- dx - y(x) - --------- = C1 | ______________ sin(y(x)) | \/ x*(-8 + 3*x) | /
$$- y{\left(x \right)} - \int \frac{3 x - 1}{\sqrt{x \left(3 x - 8\right)}}\, dx - \frac{\cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{\sin{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = C_{1}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
lie group
separable Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 0.19243644800405235)
(-5.555555555555555, 0.11545896983755599)
(-3.333333333333333, 0.08369633289455743)
(-1.1111111111111107, 0.06699372319232252)
(1.1111111111111107, nan)
(3.333333333333334, nan)
(5.555555555555557, nan)
(7.777777777777779, nan)
(10.0, nan)
(10.0, nan)