Sr Examen
Ecuación diferencial tg(dy/dx)-y=a
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
/d \
-y(x) + tan|--(y(x))| = a
\dx /
$$- y{\left(x \right)} + \tan{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} \right)} = a$$
-y + tan(y') = a
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$- y{\left(x \right)} + \tan{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} \right)} = a$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \operatorname{atan}{\left(a + y{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\operatorname{atan}{\left(a + y{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\operatorname{atan}{\left(a + y{\left(x \right)} \right)}} = 1$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\operatorname{atan}{\left(a + y{\left(x \right)} \right)}} = dx$$
o
$$\frac{dy}{\operatorname{atan}{\left(a + y{\left(x \right)} \right)}} = dx$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\operatorname{atan}{\left(a + y \right)}}\, dy = \int 1\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\int \frac{1}{\operatorname{atan}{\left(a + y \right)}}\, dy = Const + x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = \int\limits^{y{\left(x \right)}} \frac{1}{\operatorname{atan}{\left(y + a \right)}}\, dy = C_{1} + x$$
$$- y{\left(x \right)} + \tan{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} \right)} = a$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \operatorname{atan}{\left(a + y{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\operatorname{atan}{\left(a + y{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\operatorname{atan}{\left(a + y{\left(x \right)} \right)}} = 1$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\operatorname{atan}{\left(a + y{\left(x \right)} \right)}} = dx$$
o
$$\frac{dy}{\operatorname{atan}{\left(a + y{\left(x \right)} \right)}} = dx$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\operatorname{atan}{\left(a + y \right)}}\, dy = \int 1\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\int \frac{1}{\operatorname{atan}{\left(a + y \right)}}\, dy = Const + x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = \int\limits^{y{\left(x \right)}} \frac{1}{\operatorname{atan}{\left(y + a \right)}}\, dy = C_{1} + x$$
Respuesta
[src]
y(x)
/
|
| 1
| ----------- dy = C1 + x
| atan(a + y)
|
/
$$\int\limits^{y{\left(x \right)}} \frac{1}{\operatorname{atan}{\left(y + a \right)}}\, dy = C_{1} + x$$
Clasificación
factorable
lie group