Ecuación diferencial (x+1)ydx=dy

Tenemos la ecuación:
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x - 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - y{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- y{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - x - 1$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = dx \left(- x - 1\right)$$
o
$$- \frac{dy}{y{\left(x \right)}} = dx \left(- x - 1\right)$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{y}\right)\, dy = \int \left(- x - 1\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$- \log{\left(y \right)} = Const - \frac{x^{2}}{2} - x$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(\frac{x}{2} + 1\right)}$$