Sr Examen
Ecuación diferencial y''-6y'+9y=(1/x^3)(9x^2+6x+2)
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
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Solución
Ha introducido
[src]
2 2
d d 2 + 6*x + 9*x
- 6*--(y(x)) + 9*y(x) + ---(y(x)) = --------------
dx 2 3
dx x
$$9 y{\left(x \right)} - 6 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \frac{9 x^{2} + 6 x + 2}{x^{3}}$$
9*y - 6*y' + y'' = (9*x^2 + 6*x + 2)/x^3
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$9 y{\left(x \right)} - 6 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \frac{9 x^{2} + 6 x + 2}{x^{3}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$p = -6$$
$$q = 9$$
$$s = - \frac{9 x^{2} + 6 x + 2}{x^{3}}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - 6 k + 9 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
La raíz de esta ecuación es:
$$k_{1} = 3$$
Como la raíz de la ecuación característica es única,
y no tiene una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{1} x} C_{2} x$$
Sustituyamos $$k_{1} = 3$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{3 x} + C_{2} x e^{3 x}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = x \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{3 x} + \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{3 x}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(3*x) (C1=1, C2=0),
y2(x) = x*exp(3*x) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = \frac{9 x^{2} + 6 x + 2}{x^{3}}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$x e^{3 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{3 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} x e^{3 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{3 x} = \frac{9 x^{2} + 6 x + 2}{x^{3}}$$
o
$$x e^{3 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{3 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(3 x e^{3 x} + e^{3 x}\right) \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + 3 e^{3 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \frac{9 x^{2} + 6 x + 2}{x^{3}}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = - \frac{\left(9 x^{2} + 6 x + 2\right) e^{- 3 x}}{x^{2}}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \frac{\left(9 x^{2} + 6 x + 2\right) e^{- 3 x}}{x^{3}}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(- \frac{\left(9 x^{2} + 6 x + 2\right) e^{- 3 x}}{x^{2}}\right)\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \frac{\left(9 x^{2} + 6 x + 2\right) e^{- 3 x}}{x^{3}}\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \frac{\left(3 x + 2\right) e^{- 3 x}}{x}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \frac{\left(- 3 x - 1\right) e^{- 3 x}}{x^{2}}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = x \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{3 x} + \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{3 x}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{3 x} + C_{4} x e^{3 x} + \frac{1}{x}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
$$9 y{\left(x \right)} - 6 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \frac{9 x^{2} + 6 x + 2}{x^{3}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = s,
donde
$$p = -6$$
$$q = 9$$
$$s = - \frac{9 x^{2} + 6 x + 2}{x^{3}}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - 6 k + 9 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
La raíz de esta ecuación es:
$$k_{1} = 3$$
Como la raíz de la ecuación característica es única,
y no tiene una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{1} x} C_{2} x$$
Sustituyamos $$k_{1} = 3$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{3 x} + C_{2} x e^{3 x}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
y'' + p*y' + q*y = s
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = x \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{3 x} + \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{3 x}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(3*x) (C1=1, C2=0),
y2(x) = x*exp(3*x) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = \frac{9 x^{2} + 6 x + 2}{x^{3}}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$x e^{3 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{3 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} x e^{3 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{3 x} = \frac{9 x^{2} + 6 x + 2}{x^{3}}$$
o
$$x e^{3 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{3 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(3 x e^{3 x} + e^{3 x}\right) \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + 3 e^{3 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \frac{9 x^{2} + 6 x + 2}{x^{3}}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = - \frac{\left(9 x^{2} + 6 x + 2\right) e^{- 3 x}}{x^{2}}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \frac{\left(9 x^{2} + 6 x + 2\right) e^{- 3 x}}{x^{3}}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(- \frac{\left(9 x^{2} + 6 x + 2\right) e^{- 3 x}}{x^{2}}\right)\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \frac{\left(9 x^{2} + 6 x + 2\right) e^{- 3 x}}{x^{3}}\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \frac{\left(3 x + 2\right) e^{- 3 x}}{x}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \frac{\left(- 3 x - 1\right) e^{- 3 x}}{x^{2}}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = x \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{3 x} + \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{3 x}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{3 x} + C_{4} x e^{3 x} + \frac{1}{x}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
Respuesta
[src]
1 3*x
y(x) = - + (C1 + C2*x)*e
x
$$y{\left(x \right)} = \left(C_{1} + C_{2} x\right) e^{3 x} + \frac{1}{x}$$
Clasificación
nth linear constant coeff variation of parameters
nth linear constant coeff variation of parameters Integral