Sr Examen
Ecuación diferencial xy’=y+xsqrt(y^2-x^2)
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
____________ d / 2 2 x*--(y(x)) = x*\/ y (x) - x + y(x) dx
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x \sqrt{- x^{2} + y^{2}{\left(x \right)}} + y{\left(x \right)}$$
x*y' = x*sqrt(-x^2 + y^2) + y
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$- x \sqrt{- x^{2} + y^{2}{\left(x \right)}} + x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - y{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{x}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + u{\left(x \right)}$$
sustituimos
$$- x \sqrt{x^{2} u^{2}{\left(x \right)} - x^{2}} - x u{\left(x \right)} + x \frac{d}{d x} x u{\left(x \right)} = 0$$
o
$$x^{2} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - x \sqrt{x^{2} u^{2}{\left(x \right)} - x^{2}} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = \sqrt{u^{2}{\left(x \right)} - 1}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$\sqrt{u^{2}{\left(x \right)} - 1}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{\sqrt{u^{2}{\left(x \right)} - 1}} = 1$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{\sqrt{u^{2}{\left(x \right)} - 1}} = dx$$
o
$$\frac{du}{\sqrt{u^{2}{\left(x \right)} - 1}} = dx$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\sqrt{u^{2} - 1}}\, du = \int 1\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\operatorname{acosh}{\left(u \right)} = Const + x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = \cosh{\left(C_{1} + x \right)}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
$$y1 = y(x) = x \cosh{\left(C_{1} + x \right)}$$
$$- x \sqrt{- x^{2} + y^{2}{\left(x \right)}} + x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - y{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{x}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + u{\left(x \right)}$$
sustituimos
$$- x \sqrt{x^{2} u^{2}{\left(x \right)} - x^{2}} - x u{\left(x \right)} + x \frac{d}{d x} x u{\left(x \right)} = 0$$
o
$$x^{2} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - x \sqrt{x^{2} u^{2}{\left(x \right)} - x^{2}} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = \sqrt{u^{2}{\left(x \right)} - 1}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$\sqrt{u^{2}{\left(x \right)} - 1}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{\sqrt{u^{2}{\left(x \right)} - 1}} = 1$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{\sqrt{u^{2}{\left(x \right)} - 1}} = dx$$
o
$$\frac{du}{\sqrt{u^{2}{\left(x \right)} - 1}} = dx$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\sqrt{u^{2} - 1}}\, du = \int 1\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\operatorname{acosh}{\left(u \right)} = Const + x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = \cosh{\left(C_{1} + x \right)}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
$$y1 = y(x) = x \cosh{\left(C_{1} + x \right)}$$
Clasificación
lie group