Ecuación diferencial (2y^2+3x)dx+(2xy)dy=0

Tenemos la ecuación:
$$2 x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 3 x + 2 y^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = x y{\left(x \right)}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{x} - \frac{u{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
sustituimos
$$3 x + 2 u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \frac{u{\left(x \right)}}{x} + \frac{2 u^{2}{\left(x \right)}}{x^{2}} = 0$$
o
$$3 x + \frac{2 u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{x} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x^{2}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = \frac{3}{2 u{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$\frac{3}{2 u{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{2 u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{3} = - x^{2}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{2 dx u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{3} = - dx x^{2}$$
o
$$\frac{2 du u{\left(x \right)}}{3} = - dx x^{2}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{2 u}{3}\, du = \int \left(- x^{2}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con u
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$\frac{u^{2}}{3} = Const - \frac{x^{3}}{3}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} - x^{3}}$$
$$\operatorname{u_{2}} = u{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} - x^{3}}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
$$y1 = y(x) = - \frac{\sqrt{C_{1} - x^{3}}}{x}$$
$$y2 = y(x) = \frac{\sqrt{C_{1} - x^{3}}}{x}$$