Ecuación diferencial ((1-e^(y^2))*dy)-((dx)/(2*y))=0

Tenemos la ecuación:
$$- e^{y^{2}{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \frac{1}{2 y{\left(x \right)}} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{1}{2}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{\left(1 - e^{y^{2}{\left(x \right)}}\right) y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{1}{\left(1 - e^{y^{2}{\left(x \right)}}\right) y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$\left(1 - e^{y^{2}{\left(x \right)}}\right) y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{1}{2}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx \left(1 - e^{y^{2}{\left(x \right)}}\right) y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{dx}{2}$$
o
$$dy \left(1 - e^{y^{2}{\left(x \right)}}\right) y{\left(x \right)} = \frac{dx}{2}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int y \left(1 - e^{y^{2}}\right)\, dy = \int \frac{1}{2}\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$\frac{y^{2}}{2} - \frac{e^{y^{2}}}{2} = Const + \frac{x}{2}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} + x - W\left(- e^{C_{1} + x}\right)}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} + x - W\left(- e^{C_{1} + x}\right)}$$