Sr Examen
Ecuación diferencial kx+mx''=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2
d
k*x(t) + m*---(x(t)) = 0
2
dt
$$k x{\left(t \right)} + m \frac{d^{2}}{d t^{2}} x{\left(t \right)} = 0$$
k*x + m*x'' = 0
Solución detallada
Dividamos las dos partes de la ecuación al factor de la derivada de y'':
$$m$$
Recibimos la ecuación:
$$\frac{k x{\left(t \right)} + m \frac{d^{2}}{d t^{2}} x{\left(t \right)}}{m} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$p = 0$$
$$q = \frac{k}{m}$$
Se llama lineal homogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + \frac{k}{m} = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = 0$$
$$k_{2} = - \frac{1}{m}$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$x{\left(t \right)} = e^{k_{1} t} C_{1} + e^{k_{2} t} C_{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x{\left(t \right)} = C_{1} + C_{2} e^{- \frac{t}{m}}$$
$$m$$
Recibimos la ecuación:
$$\frac{k x{\left(t \right)} + m \frac{d^{2}}{d t^{2}} x{\left(t \right)}}{m} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = 0,
donde
$$p = 0$$
$$q = \frac{k}{m}$$
Se llama lineal homogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + \frac{k}{m} = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = 0$$
$$k_{2} = - \frac{1}{m}$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$x{\left(t \right)} = e^{k_{1} t} C_{1} + e^{k_{2} t} C_{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x{\left(t \right)} = C_{1} + C_{2} e^{- \frac{t}{m}}$$
Respuesta
[src]
_____ _____
/ -k / -k
-t* / --- t* / ---
\/ m \/ m
x(t) = C1*e + C2*e
$$x{\left(t \right)} = C_{1} e^{- t \sqrt{- \frac{k}{m}}} + C_{2} e^{t \sqrt{- \frac{k}{m}}}$$
Clasificación
nth linear constant coeff homogeneous
2nd power series ordinary