Sr Examen
Ecuación diferencial mx''+ca+nx'^2=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
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Solución
Ha introducido
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2 2
a d /d \
c + m*---(x(t)) + n*|--(x(t))| = 0
2 \dt /
dt
$$c^{a} + m \frac{d^{2}}{d t^{2}} x{\left(t \right)} + n \left(\frac{d}{d t} x{\left(t \right)}\right)^{2} = 0$$
c^a + m*x'' + n*x'^2 = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$c^{a} + m \frac{d^{2}}{d t^{2}} x{\left(t \right)} + n \left(\frac{d}{d t} x{\left(t \right)}\right)^{2} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(t \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(x' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(t \right)} = - \frac{1}{m}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(x' \right)} = c^{a} + n \left(\frac{d}{d t} x{\left(t \right)}\right)^{2}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(x')
$$c^{a} + n \left(\frac{d}{d t} x{\left(t \right)}\right)^{2}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d^{2}}{d t^{2}} x{\left(t \right)}}{c^{a} + n \left(\frac{d}{d t} x{\left(t \right)}\right)^{2}} = - \frac{1}{m}$$
Con esto hemos separado las variables t y x'.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dt,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dt \frac{d^{2}}{d t^{2}} x{\left(t \right)}}{c^{a} + n \left(\frac{d}{d t} x{\left(t \right)}\right)^{2}} = - \frac{dt}{m}$$
o
$$\frac{dx'}{c^{a} + n \left(\frac{d}{d t} x{\left(t \right)}\right)^{2}} = - \frac{dt}{m}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por x',
- de la parte derecha la integral por t.
$$\int \frac{1}{c^{a} + n x'^{2}}\, dx' = \int \left(- \frac{1}{m}\right)\, dt$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\sqrt{- \frac{c^{- a}}{n}} \log{\left(- c^{a} \sqrt{- \frac{c^{- a}}{n}} + x' \right)}}{2} + \frac{\sqrt{- \frac{c^{- a}}{n}} \log{\left(c^{a} \sqrt{- \frac{c^{- a}}{n}} + x' \right)}}{2} = Const - \frac{t}{m}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica x'.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{x'1} = \operatorname{x'}{\left(t \right)} = \frac{c^{a} \sqrt{- \frac{c^{- a}}{n}}}{\tanh{\left(\frac{C_{1} - t}{m \sqrt{- \frac{c^{- a}}{n}}} \right)}}$$
tomemos estas integrales
$$\operatorname{x_{1}} = \int \frac{d}{d t} x{\left(t \right)}\, dt = \int \frac{c^{a} \sqrt{- \frac{c^{- a}}{n}}}{\tanh{\left(\frac{C_{1} - t}{m \sqrt{- \frac{c^{- a}}{n}}} \right)}}\, dt$$ =
$$\operatorname{x_{1}} = x{\left(t \right)} = C_{2} + c^{a} m \left(- \frac{c^{- a}}{n}\right) \left(\frac{\log{\left(\tanh{\left(\frac{C_{1} - t}{m \sqrt{- \frac{c^{- a}}{n}}} \right)} - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(\tanh{\left(\frac{C_{1} - t}{m \sqrt{- \frac{c^{- a}}{n}}} \right)} + 1 \right)}}{2} - \log{\left(\tanh{\left(\frac{C_{1} - t}{m \sqrt{- \frac{c^{- a}}{n}}} \right)} \right)}\right)$$
$$c^{a} + m \frac{d^{2}}{d t^{2}} x{\left(t \right)} + n \left(\frac{d}{d t} x{\left(t \right)}\right)^{2} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(x')*x'' = f2(x)*g2(x'),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(t \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(x' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(t \right)} = - \frac{1}{m}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(x' \right)} = c^{a} + n \left(\frac{d}{d t} x{\left(t \right)}\right)^{2}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(x')/g2(x')*x''= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(x')
$$c^{a} + n \left(\frac{d}{d t} x{\left(t \right)}\right)^{2}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d^{2}}{d t^{2}} x{\left(t \right)}}{c^{a} + n \left(\frac{d}{d t} x{\left(t \right)}\right)^{2}} = - \frac{1}{m}$$
Con esto hemos separado las variables t y x'.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dt,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dt \frac{d^{2}}{d t^{2}} x{\left(t \right)}}{c^{a} + n \left(\frac{d}{d t} x{\left(t \right)}\right)^{2}} = - \frac{dt}{m}$$
o
$$\frac{dx'}{c^{a} + n \left(\frac{d}{d t} x{\left(t \right)}\right)^{2}} = - \frac{dt}{m}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por x',
- de la parte derecha la integral por t.
$$\int \frac{1}{c^{a} + n x'^{2}}\, dx' = \int \left(- \frac{1}{m}\right)\, dt$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\sqrt{- \frac{c^{- a}}{n}} \log{\left(- c^{a} \sqrt{- \frac{c^{- a}}{n}} + x' \right)}}{2} + \frac{\sqrt{- \frac{c^{- a}}{n}} \log{\left(c^{a} \sqrt{- \frac{c^{- a}}{n}} + x' \right)}}{2} = Const - \frac{t}{m}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica x'.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{x'1} = \operatorname{x'}{\left(t \right)} = \frac{c^{a} \sqrt{- \frac{c^{- a}}{n}}}{\tanh{\left(\frac{C_{1} - t}{m \sqrt{- \frac{c^{- a}}{n}}} \right)}}$$
tomemos estas integrales
$$\operatorname{x_{1}} = \int \frac{d}{d t} x{\left(t \right)}\, dt = \int \frac{c^{a} \sqrt{- \frac{c^{- a}}{n}}}{\tanh{\left(\frac{C_{1} - t}{m \sqrt{- \frac{c^{- a}}{n}}} \right)}}\, dt$$ =
$$\operatorname{x_{1}} = x{\left(t \right)} = C_{2} + c^{a} m \left(- \frac{c^{- a}}{n}\right) \left(\frac{\log{\left(\tanh{\left(\frac{C_{1} - t}{m \sqrt{- \frac{c^{- a}}{n}}} \right)} - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(\tanh{\left(\frac{C_{1} - t}{m \sqrt{- \frac{c^{- a}}{n}}} \right)} + 1 \right)}}{2} - \log{\left(\tanh{\left(\frac{C_{1} - t}{m \sqrt{- \frac{c^{- a}}{n}}} \right)} \right)}\right)$$
Clasificación
factorable
nth order reducible