Sr Examen
Ecuación diferencial dy/y^2=2*dx*x/(4-x^2)
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d --(y(x)) dx 2*x -------- = ------ 2 2 y (x) 4 - x
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)}} = \frac{2 x}{4 - x^{2}}$$
y'/y^2 = 2*x/(4 - x^2)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)}} = \frac{2 x}{4 - x^{2}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{2 x}{x^{2} - 4}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y^{2}{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y^{2}{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{2 x}{x^{2} - 4}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{2 dx x}{x^{2} - 4}$$
o
$$\frac{dy}{y^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{2 dx x}{x^{2} - 4}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y^{2}}\, dy = \int \left(- \frac{2 x}{x^{2} - 4}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{1}{y} = Const - \log{\left(x^{2} - 4 \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \frac{1}{C_{1} - \log{\left(x^{2} - 4 \right)}}$$
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)}} = \frac{2 x}{4 - x^{2}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{2 x}{x^{2} - 4}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y^{2}{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y^{2}{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{2 x}{x^{2} - 4}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{2 dx x}{x^{2} - 4}$$
o
$$\frac{dy}{y^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{2 dx x}{x^{2} - 4}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y^{2}}\, dy = \int \left(- \frac{2 x}{x^{2} - 4}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{1}{y} = Const - \log{\left(x^{2} - 4 \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \frac{1}{C_{1} - \log{\left(x^{2} - 4 \right)}}$$
Respuesta
[src]
-1
y(x) = -----------------
/ 2\
C1 - log\-4 + x /
$$y{\left(x \right)} = - \frac{1}{C_{1} - \log{\left(x^{2} - 4 \right)}}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
1st exact
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 1.2451498492806679)
(-5.555555555555555, 16.72830099239349)
(-3.333333333333333, 93968259.34335455)
(-1.1111111111111107, 2.78363573e-315)
(1.1111111111111107, 6.971028255580836e+173)
(3.333333333333334, 3.1933833808213398e-248)
(5.555555555555557, 4.1259321722598064e-61)
(7.777777777777779, 8.388243566957808e+296)
(10.0, 3.861029683e-315)
(10.0, 3.861029683e-315)