Sr Examen
Ecuación diferencial y″−9y=(x^2−8)sin(3x)
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2
d / 2\
-9*y(x) + ---(y(x)) = \-8 + x /*sin(3*x)
2
dx
$$- 9 y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \left(x^{2} - 8\right) \sin{\left(3 x \right)}$$
-9*y + y'' = (x^2 - 8)*sin(3*x)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$- 9 y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \left(x^{2} - 8\right) \sin{\left(3 x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$p = 0$$
$$q = -9$$
$$s = - \left(x^{2} - 8\right) \sin{\left(3 x \right)}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - 9 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = -3$$
$$k_{2} = 3$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
y las raíces no tienen una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} e^{k_{2} x}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{- 3 x} + C_{2} e^{3 x}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{- 3 x} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{3 x}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(-3*x) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(3*x) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = \left(x^{2} - 8\right) \sin{\left(3 x \right)}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{3 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{- 3 x} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{3 x} = \left(x^{2} - 8\right) \sin{\left(3 x \right)}$$
o
$$e^{3 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$3 e^{3 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} - 3 e^{- 3 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \left(x^{2} - 8\right) \sin{\left(3 x \right)}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \frac{\left(8 - x^{2}\right) e^{3 x} \sin{\left(3 x \right)}}{6}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \frac{\left(x^{2} - 8\right) e^{- 3 x} \sin{\left(3 x \right)}}{6}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \frac{\left(8 - x^{2}\right) e^{3 x} \sin{\left(3 x \right)}}{6}\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \frac{\left(x^{2} - 8\right) e^{- 3 x} \sin{\left(3 x \right)}}{6}\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} - \frac{x^{2} e^{3 x} \sin{\left(3 x \right)}}{36} + \frac{x^{2} e^{3 x} \cos{\left(3 x \right)}}{36} - \frac{x e^{3 x} \cos{\left(3 x \right)}}{54} + \frac{73 e^{3 x} \sin{\left(3 x \right)}}{324} - \frac{71 e^{3 x} \cos{\left(3 x \right)}}{324}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} - \frac{x^{2} e^{- 3 x} \sin{\left(3 x \right)}}{36} - \frac{x^{2} e^{- 3 x} \cos{\left(3 x \right)}}{36} - \frac{x e^{- 3 x} \cos{\left(3 x \right)}}{54} + \frac{73 e^{- 3 x} \sin{\left(3 x \right)}}{324} + \frac{71 e^{- 3 x} \cos{\left(3 x \right)}}{324}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{- 3 x} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{3 x}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{- 3 x} + C_{4} e^{3 x} - \frac{x^{2} \sin{\left(3 x \right)}}{18} - \frac{x \cos{\left(3 x \right)}}{27} + \frac{73 \sin{\left(3 x \right)}}{162}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
$$- 9 y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \left(x^{2} - 8\right) \sin{\left(3 x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = s,
donde
$$p = 0$$
$$q = -9$$
$$s = - \left(x^{2} - 8\right) \sin{\left(3 x \right)}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - 9 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = -3$$
$$k_{2} = 3$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
y las raíces no tienen una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} e^{k_{2} x}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{- 3 x} + C_{2} e^{3 x}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
y'' + p*y' + q*y = s
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{- 3 x} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{3 x}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(-3*x) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(3*x) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = \left(x^{2} - 8\right) \sin{\left(3 x \right)}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{3 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{- 3 x} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{3 x} = \left(x^{2} - 8\right) \sin{\left(3 x \right)}$$
o
$$e^{3 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$3 e^{3 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} - 3 e^{- 3 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \left(x^{2} - 8\right) \sin{\left(3 x \right)}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \frac{\left(8 - x^{2}\right) e^{3 x} \sin{\left(3 x \right)}}{6}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \frac{\left(x^{2} - 8\right) e^{- 3 x} \sin{\left(3 x \right)}}{6}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \frac{\left(8 - x^{2}\right) e^{3 x} \sin{\left(3 x \right)}}{6}\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \frac{\left(x^{2} - 8\right) e^{- 3 x} \sin{\left(3 x \right)}}{6}\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} - \frac{x^{2} e^{3 x} \sin{\left(3 x \right)}}{36} + \frac{x^{2} e^{3 x} \cos{\left(3 x \right)}}{36} - \frac{x e^{3 x} \cos{\left(3 x \right)}}{54} + \frac{73 e^{3 x} \sin{\left(3 x \right)}}{324} - \frac{71 e^{3 x} \cos{\left(3 x \right)}}{324}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} - \frac{x^{2} e^{- 3 x} \sin{\left(3 x \right)}}{36} - \frac{x^{2} e^{- 3 x} \cos{\left(3 x \right)}}{36} - \frac{x e^{- 3 x} \cos{\left(3 x \right)}}{54} + \frac{73 e^{- 3 x} \sin{\left(3 x \right)}}{324} + \frac{71 e^{- 3 x} \cos{\left(3 x \right)}}{324}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{- 3 x} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{3 x}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{- 3 x} + C_{4} e^{3 x} - \frac{x^{2} \sin{\left(3 x \right)}}{18} - \frac{x \cos{\left(3 x \right)}}{27} + \frac{73 \sin{\left(3 x \right)}}{162}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
Respuesta
[src]
2
73*sin(3*x) -3*x 3*x x *sin(3*x) x*cos(3*x)
y(x) = ----------- + C1*e + C2*e - ----------- - ----------
162 18 27
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{- 3 x} + C_{2} e^{3 x} - \frac{x^{2} \sin{\left(3 x \right)}}{18} - \frac{x \cos{\left(3 x \right)}}{27} + \frac{73 \sin{\left(3 x \right)}}{162}$$
Clasificación
nth linear constant coeff undetermined coefficients
nth linear constant coeff variation of parameters
nth linear constant coeff variation of parameters Integral