Sr Examen
Ecuación diferencial sinhx*cosy*dx=coshx*siny*dy
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d
cos(y(x))*sinh(x) = --(y(x))*cosh(x)*sin(y(x))
dx
$$\cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} \sinh{\left(x \right)} = \sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} \cosh{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
cos(y)*sinh(x) = sin(y)*cosh(x)*y'
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} \cosh{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} \sinh{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \tanh{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{\tan{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{1}{\tan{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
obtendremos
$$\tan{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \tanh{\left(x \right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = dx \tanh{\left(x \right)}$$
o
$$dy \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)} = dx \tanh{\left(x \right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \tan{\left(y \right)}\, dy = \int \tanh{\left(x \right)}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \log{\left(\cos{\left(y \right)} \right)} = Const + x - \log{\left(\tanh{\left(x \right)} + 1 \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \operatorname{acos}{\left(\frac{2 e^{x}}{e^{C_{1}} + e^{C_{1} + 2 x}} \right)} + 2 \pi$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(\frac{2 e^{x}}{e^{C_{1}} + e^{C_{1} + 2 x}} \right)}$$
$$\sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} \cosh{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} \sinh{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \tanh{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{\tan{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{1}{\tan{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
obtendremos
$$\tan{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \tanh{\left(x \right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = dx \tanh{\left(x \right)}$$
o
$$dy \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)} = dx \tanh{\left(x \right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \tan{\left(y \right)}\, dy = \int \tanh{\left(x \right)}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \log{\left(\cos{\left(y \right)} \right)} = Const + x - \log{\left(\tanh{\left(x \right)} + 1 \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \operatorname{acos}{\left(\frac{2 e^{x}}{e^{C_{1}} + e^{C_{1} + 2 x}} \right)} + 2 \pi$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(\frac{2 e^{x}}{e^{C_{1}} + e^{C_{1} + 2 x}} \right)}$$
Respuesta
[src]
/ x \
| 2*e |
y(x) = - acos|---------------| + 2*pi
| C1 C1 + 2*x|
\e + e /
$$y{\left(x \right)} = - \operatorname{acos}{\left(\frac{2 e^{x}}{e^{C_{1}} + e^{C_{1} + 2 x}} \right)} + 2 \pi$$
/ x \
| 2*e |
y(x) = acos|---------------|
| C1 C1 + 2*x|
\e + e /
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(\frac{2 e^{x}}{e^{C_{1}} + e^{C_{1} + 2 x}} \right)}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
factorable
separable
1st exact
almost linear
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
almost linear Integral