Sr Examen
Ecuación diferencial dy/dx-16xsqrt(y)+8xy=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
______ d
- 16*x*\/ y(x) + 8*x*y(x) + --(y(x)) = 0
dx
$$- 16 x \sqrt{y{\left(x \right)}} + 8 x y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
-16*x*sqrt(y) + 8*x*y + y' = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$- 16 x \sqrt{y{\left(x \right)}} + 8 x y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = 8 x$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = 2 \sqrt{y{\left(x \right)}} - y{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$2 \sqrt{y{\left(x \right)}} - y{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{2 \sqrt{y{\left(x \right)}} - y{\left(x \right)}} = 8 x$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{2 \sqrt{y{\left(x \right)}} - y{\left(x \right)}} = 8 dx x$$
o
$$\frac{dy}{2 \sqrt{y{\left(x \right)}} - y{\left(x \right)}} = 8 dx x$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{2 \sqrt{y} - y}\, dy = \int 8 x\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- 2 \log{\left(\sqrt{y} - 2 \right)} = Const + 4 x^{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = 4 e^{\frac{C_{1}}{2} - 2 x^{2}} + e^{C_{1} - 4 x^{2}} + 4$$
$$- 16 x \sqrt{y{\left(x \right)}} + 8 x y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = 8 x$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = 2 \sqrt{y{\left(x \right)}} - y{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$2 \sqrt{y{\left(x \right)}} - y{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{2 \sqrt{y{\left(x \right)}} - y{\left(x \right)}} = 8 x$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{2 \sqrt{y{\left(x \right)}} - y{\left(x \right)}} = 8 dx x$$
o
$$\frac{dy}{2 \sqrt{y{\left(x \right)}} - y{\left(x \right)}} = 8 dx x$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{2 \sqrt{y} - y}\, dy = \int 8 x\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- 2 \log{\left(\sqrt{y} - 2 \right)} = Const + 4 x^{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = 4 e^{\frac{C_{1}}{2} - 2 x^{2}} + e^{C_{1} - 4 x^{2}} + 4$$
Respuesta
[src]
C1 2
-- - 2*x 2
2 C1 - 4*x
y(x) = 4 + 4*e + e
$$y{\left(x \right)} = 4 e^{\frac{C_{1}}{2} - 2 x^{2}} + e^{C_{1} - 4 x^{2}} + 4$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
1st exact
Bernoulli
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Bernoulli Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, nan)
(-5.555555555555555, nan)
(-3.333333333333333, nan)
(-1.1111111111111107, nan)
(1.1111111111111107, nan)
(3.333333333333334, nan)
(5.555555555555557, nan)
(7.777777777777779, nan)
(10.0, nan)
(10.0, nan)