Ecuación diferencial sin(x)/1+y*dy/dx=cos(x)

Tenemos la ecuación:
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{\sqrt{2}}{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{\sqrt{2}}{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{\sqrt{2} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{2} = - \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{\sqrt{2} dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{2} = - dx \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$$
o
$$- \frac{\sqrt{2} dy y{\left(x \right)}}{2} = - dx \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{\sqrt{2} y}{2}\right)\, dy = \int \left(- \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\sqrt{2} y^{2}}{4} = Const - \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} + 2 \sqrt{2} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} + 2 \sqrt{2} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}$$