Sr Examen
Ecuación diferencial dx+(7x^2−5)*cos(7y+3)dy=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d 2 d
1 - 5*--(y(x))*cos(3 + 7*y(x)) + 7*x *--(y(x))*cos(3 + 7*y(x)) = 0
dx dx
$$7 x^{2} \cos{\left(7 y{\left(x \right)} + 3 \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 5 \cos{\left(7 y{\left(x \right)} + 3 \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 1 = 0$$
7*x^2*cos(7*y + 3)*y' - 5*cos(7*y + 3)*y' + 1 = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$7 x^{2} \cos{\left(7 y{\left(x \right)} + 3 \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 5 \cos{\left(7 y{\left(x \right)} + 3 \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 1 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{7 x^{2} - 5}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{\cos{\left(7 y{\left(x \right)} + 3 \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{1}{\cos{\left(7 y{\left(x \right)} + 3 \right)}}$$
obtendremos
$$\cos{\left(7 y{\left(x \right)} + 3 \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{1}{7 x^{2} - 5}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx \cos{\left(7 y{\left(x \right)} + 3 \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{dx}{7 x^{2} - 5}$$
o
$$dy \cos{\left(7 y{\left(x \right)} + 3 \right)} = - \frac{dx}{7 x^{2} - 5}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \cos{\left(7 y + 3 \right)}\, dy = \int \left(- \frac{1}{7 x^{2} - 5}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{\sin{\left(7 y + 3 \right)}}{7} = Const - \frac{\sqrt{35} \log{\left(x - \frac{\sqrt{35}}{7} \right)}}{70} + \frac{\sqrt{35} \log{\left(x + \frac{\sqrt{35}}{7} \right)}}{70}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{\operatorname{asin}{\left(C_{1} - \frac{\sqrt{35} \log{\left(x - \frac{\sqrt{35}}{7} \right)}}{10} + \frac{\sqrt{35} \log{\left(x + \frac{\sqrt{35}}{7} \right)}}{10} \right)}}{7} - \frac{3}{7}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = - \frac{\operatorname{asin}{\left(C_{1} - \frac{\sqrt{35} \log{\left(x - \frac{\sqrt{35}}{7} \right)}}{10} + \frac{\sqrt{35} \log{\left(x + \frac{\sqrt{35}}{7} \right)}}{10} \right)}}{7} - \frac{3}{7} + \frac{\pi}{7}$$
$$7 x^{2} \cos{\left(7 y{\left(x \right)} + 3 \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 5 \cos{\left(7 y{\left(x \right)} + 3 \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 1 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{7 x^{2} - 5}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{\cos{\left(7 y{\left(x \right)} + 3 \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{1}{\cos{\left(7 y{\left(x \right)} + 3 \right)}}$$
obtendremos
$$\cos{\left(7 y{\left(x \right)} + 3 \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{1}{7 x^{2} - 5}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx \cos{\left(7 y{\left(x \right)} + 3 \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{dx}{7 x^{2} - 5}$$
o
$$dy \cos{\left(7 y{\left(x \right)} + 3 \right)} = - \frac{dx}{7 x^{2} - 5}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \cos{\left(7 y + 3 \right)}\, dy = \int \left(- \frac{1}{7 x^{2} - 5}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{\sin{\left(7 y + 3 \right)}}{7} = Const - \frac{\sqrt{35} \log{\left(x - \frac{\sqrt{35}}{7} \right)}}{70} + \frac{\sqrt{35} \log{\left(x + \frac{\sqrt{35}}{7} \right)}}{70}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{\operatorname{asin}{\left(C_{1} - \frac{\sqrt{35} \log{\left(x - \frac{\sqrt{35}}{7} \right)}}{10} + \frac{\sqrt{35} \log{\left(x + \frac{\sqrt{35}}{7} \right)}}{10} \right)}}{7} - \frac{3}{7}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = - \frac{\operatorname{asin}{\left(C_{1} - \frac{\sqrt{35} \log{\left(x - \frac{\sqrt{35}}{7} \right)}}{10} + \frac{\sqrt{35} \log{\left(x + \frac{\sqrt{35}}{7} \right)}}{10} \right)}}{7} - \frac{3}{7} + \frac{\pi}{7}$$
Respuesta
[src]
/ / ____\ / ____\\
| ____ | \/ 35 | ____ | \/ 35 ||
| \/ 35 *log|x - ------| \/ 35 *log|x + ------||
| \ 7 / \ 7 /|
asin|C1 - ---------------------- + ----------------------|
3 \ 10 10 /
y(x) = - - + ----------------------------------------------------------
7 7
$$y{\left(x \right)} = \frac{\operatorname{asin}{\left(C_{1} - \frac{\sqrt{35} \log{\left(x - \frac{\sqrt{35}}{7} \right)}}{10} + \frac{\sqrt{35} \log{\left(x + \frac{\sqrt{35}}{7} \right)}}{10} \right)}}{7} - \frac{3}{7}$$
/ / ____\ / ____\\
| ____ | \/ 35 | ____ | \/ 35 ||
| \/ 35 *log|x - ------| \/ 35 *log|x + ------||
| \ 7 / \ 7 /|
asin|C1 - ---------------------- + ----------------------|
3 \ 10 10 / pi
y(x) = - - - ---------------------------------------------------------- + --
7 7 7
$$y{\left(x \right)} = - \frac{\operatorname{asin}{\left(C_{1} - \frac{\sqrt{35} \log{\left(x - \frac{\sqrt{35}}{7} \right)}}{10} + \frac{\sqrt{35} \log{\left(x + \frac{\sqrt{35}}{7} \right)}}{10} \right)}}{7} - \frac{3}{7} + \frac{\pi}{7}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
1st exact
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 0.7598734529891321)
(-5.555555555555555, 0.7749779026071443)
(-3.333333333333333, 0.8037861249659077)
(-1.1111111111111107, 0.9404474023050345)
(1.1111111111111107, 1.1422249043783712)
(3.333333333333334, 3.1933833808213433e-248)
(5.555555555555557, 2.5910489201161894e+184)
(7.777777777777779, 8.388243567717001e+296)
(10.0, 3.861029683e-315)
(10.0, 3.861029683e-315)