Tenemos la ecuación:
$$\frac{7^{x_{2}} y{\left(x \right)} e^{3}}{dx} + 5 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 1 + \frac{5 y{\left(x \right)} e^{3}}{dx} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{5 dx}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = 7^{x_{2}} y{\left(x \right)} e^{3} + dx + 5 y{\left(x \right)} e^{3}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$7^{x_{2}} y{\left(x \right)} e^{3} + dx + 5 y{\left(x \right)} e^{3}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{7^{x_{2}} y{\left(x \right)} e^{3} + dx + 5 y{\left(x \right)} e^{3}} = - \frac{1}{5 dx}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{7^{x_{2}} y{\left(x \right)} e^{3} + dx + 5 y{\left(x \right)} e^{3}} = - \frac{1}{5}$$
o
$$\frac{dy}{7^{x_{2}} y{\left(x \right)} e^{3} + dx + 5 y{\left(x \right)} e^{3}} = - \frac{1}{5}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{7^{x_{2}} y e^{3} + dx + 5 y e^{3}}\, dy = \int \left(- \frac{1}{5 dx}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con ySolución detallada de la integral con xTomemos estas integrales
$$\frac{\log{\left(dx + y \left(7^{x_{2}} e^{3} + 5 e^{3}\right) \right)}}{7^{x_{2}} e^{3} + 5 e^{3}} = Const - \frac{x}{5 dx}$$
Solución detallada de una ecuación simpleHemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{- \frac{dx}{\left(e^{1}\right)^{3}} + e^{C_{1} \left(\frac{7^{x_{2}}}{5} + 1\right) e^{3}} e^{- \frac{7^{x_{2}} x e^{3}}{5 dx} - 3 - \frac{x e^{3}}{dx}}}{7^{x_{2}} + 5}$$