Sr Examen
Ecuación diferencial sin(y)^2+sqrt(9-x^2)*y’=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
________
2 / 2 d
sin (y(x)) + \/ 9 - x *--(y(x)) = 0
dx
$$\sqrt{9 - x^{2}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)} = 0$$
sqrt(9 - x^2)*y' + sin(y)^2 = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\sqrt{9 - x^{2}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sqrt{9 - x^{2}}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{1}{\sqrt{9 - x^{2}}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{dx}{\sqrt{9 - x^{2}}}$$
o
$$\frac{dy}{\sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{dx}{\sqrt{9 - x^{2}}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\sin^{2}{\left(y \right)}}\, dy = \int \left(- \frac{1}{\sqrt{9 - x^{2}}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\cos{\left(y \right)}}{\sin{\left(y \right)}} = Const - \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{C_{1} - \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)}} \right)}$$
$$\sqrt{9 - x^{2}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sqrt{9 - x^{2}}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{1}{\sqrt{9 - x^{2}}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{dx}{\sqrt{9 - x^{2}}}$$
o
$$\frac{dy}{\sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{dx}{\sqrt{9 - x^{2}}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\sin^{2}{\left(y \right)}}\, dy = \int \left(- \frac{1}{\sqrt{9 - x^{2}}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\cos{\left(y \right)}}{\sin{\left(y \right)}} = Const - \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{C_{1} - \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)}} \right)}$$
Respuesta
[src]
/ 1 \
y(x) = -atan|------------|
| /x\|
|C1 - asin|-||
\ \3//
$$y{\left(x \right)} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{C_{1} - \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)}} \right)}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
1st power series
lie group
separable Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, nan)
(-5.555555555555555, nan)
(-3.333333333333333, nan)
(-1.1111111111111107, nan)
(1.1111111111111107, nan)
(3.333333333333334, nan)
(5.555555555555557, nan)
(7.777777777777779, nan)
(10.0, nan)
(10.0, nan)