Sr Examen
Ecuación diferencial y^2e^-5ydy-dx/sin(x)cos^2(x)=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2 cos (x) 3 d -5 - ------- + y (x)*--(y(x))*e = 0 sin(x) dx
$$\frac{y^{3}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{e^{5}} - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} = 0$$
y^3*exp(-5)*y' - cos(x)^2/sin(x) = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\frac{y^{3}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{e^{5}} - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{e^{5} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{y^{3}{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{1}{y^{3}{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$y^{3}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{e^{5} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx y^{3}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{dx e^{5} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$$
o
$$dy y^{3}{\left(x \right)} = \frac{dx e^{5} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int y^{3}\, dy = \int \frac{e^{5} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{y^{4}}{4} = Const + \left(\frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{5}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - i \sqrt[4]{C_{1} + 2 e^{5} \log{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)} - 2 e^{5} \log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)} + 4 e^{5} \cos{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = i \sqrt[4]{C_{1} + 2 e^{5} \log{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)} - 2 e^{5} \log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)} + 4 e^{5} \cos{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{y_{3}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt[4]{C_{1} + 2 e^{5} \log{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)} - 2 e^{5} \log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)} + 4 e^{5} \cos{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{y_{4}} = y{\left(x \right)} = \sqrt[4]{C_{1} + 2 e^{5} \log{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)} - 2 e^{5} \log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)} + 4 e^{5} \cos{\left(x \right)}}$$
$$\frac{y^{3}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{e^{5}} - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{e^{5} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{y^{3}{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{1}{y^{3}{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$y^{3}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{e^{5} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx y^{3}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{dx e^{5} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$$
o
$$dy y^{3}{\left(x \right)} = \frac{dx e^{5} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int y^{3}\, dy = \int \frac{e^{5} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{y^{4}}{4} = Const + \left(\frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{5}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - i \sqrt[4]{C_{1} + 2 e^{5} \log{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)} - 2 e^{5} \log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)} + 4 e^{5} \cos{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = i \sqrt[4]{C_{1} + 2 e^{5} \log{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)} - 2 e^{5} \log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)} + 4 e^{5} \cos{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{y_{3}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt[4]{C_{1} + 2 e^{5} \log{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)} - 2 e^{5} \log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)} + 4 e^{5} \cos{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{y_{4}} = y{\left(x \right)} = \sqrt[4]{C_{1} + 2 e^{5} \log{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)} - 2 e^{5} \log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)} + 4 e^{5} \cos{\left(x \right)}}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
1st exact
Bernoulli
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Bernoulli Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 11.399193464497559)
(-5.555555555555555, 2.17e-322)
(-3.333333333333333, nan)
(-1.1111111111111107, 2.78363573e-315)
(1.1111111111111107, 8.427456047434801e+197)
(3.333333333333334, 3.1933833808213433e-248)
(5.555555555555557, 2.5910489201161894e+184)
(7.777777777777779, 8.388243567736272e+296)
(10.0, 3.861029683e-315)
(10.0, 3.861029683e-315)