Sr Examen
Ecuación diferencial dx*sqrt(y^2+1)+dy*(3*x^2*y+y)=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
___________
/ 2 d 2 d
\/ 1 + y (x) + --(y(x))*y(x) + 3*x *--(y(x))*y(x) = 0
dx dx
$$3 x^{2} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 1} + y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
3*x^2*y*y' + sqrt(y^2 + 1) + y*y' = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$3 x^{2} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 1} + y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{3 x^{2} + 1}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 1}}{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 1}}{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 1}} = - \frac{1}{3 x^{2} + 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 1}} = - \frac{dx}{3 x^{2} + 1}$$
o
$$\frac{dy y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 1}} = - \frac{dx}{3 x^{2} + 1}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{y}{\sqrt{y^{2} + 1}}\, dy = \int \left(- \frac{1}{3 x^{2} + 1}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\sqrt{y^{2} + 1} = Const - \frac{\sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} x \right)}}{3}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{3 C_{1}^{2} - 2 \sqrt{3} C_{1} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} x \right)} + \operatorname{atan}^{2}{\left(\sqrt{3} x \right)} - 3}}{3}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{3} \sqrt{3 C_{1}^{2} - 2 \sqrt{3} C_{1} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} x \right)} + \operatorname{atan}^{2}{\left(\sqrt{3} x \right)} - 3}}{3}$$
$$3 x^{2} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 1} + y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{3 x^{2} + 1}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 1}}{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 1}}{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 1}} = - \frac{1}{3 x^{2} + 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 1}} = - \frac{dx}{3 x^{2} + 1}$$
o
$$\frac{dy y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 1}} = - \frac{dx}{3 x^{2} + 1}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{y}{\sqrt{y^{2} + 1}}\, dy = \int \left(- \frac{1}{3 x^{2} + 1}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\sqrt{y^{2} + 1} = Const - \frac{\sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} x \right)}}{3}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{3 C_{1}^{2} - 2 \sqrt{3} C_{1} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} x \right)} + \operatorname{atan}^{2}{\left(\sqrt{3} x \right)} - 3}}{3}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{3} \sqrt{3 C_{1}^{2} - 2 \sqrt{3} C_{1} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} x \right)} + \operatorname{atan}^{2}{\left(\sqrt{3} x \right)} - 3}}{3}$$
Respuesta
[src]
________________________________________________________
___ / 2/ ___\ 2 ___ / ___\
-\/ 3 *\/ -3 + atan \x*\/ 3 / + 3*C1 - 2*C1*\/ 3 *atan\x*\/ 3 /
y(x) = -------------------------------------------------------------------
3
$$y{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{3 C_{1}^{2} - 2 \sqrt{3} C_{1} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} x \right)} + \operatorname{atan}^{2}{\left(\sqrt{3} x \right)} - 3}}{3}$$
________________________________________________________
___ / 2/ ___\ 2 ___ / ___\
\/ 3 *\/ -3 + atan \x*\/ 3 / + 3*C1 - 2*C1*\/ 3 *atan\x*\/ 3 /
y(x) = -----------------------------------------------------------------
3
$$y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{3} \sqrt{3 C_{1}^{2} - 2 \sqrt{3} C_{1} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} x \right)} + \operatorname{atan}^{2}{\left(\sqrt{3} x \right)} - 3}}{3}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
1st power series
lie group
separable Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 0.7340872206320342)
(-5.555555555555555, 0.7049673231267751)
(-3.333333333333333, 0.6344412495243548)
(-1.1111111111111107, 0.1152572869112165)
(1.1111111111111107, 1.6529230782262026e-09)
(3.333333333333334, 3.1933833808213433e-248)
(5.555555555555557, 8.973398002470273e-67)
(7.777777777777779, 8.388243571810763e+296)
(10.0, 3.861029683e-315)
(10.0, 3.861029683e-315)