Ecuación diferencial y'=sen(5x+6y+8)

Tenemos la ecuación:
$$- \sin{\left(5 x + 6 y{\left(x \right)} + 8 \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = 5 x + 6 y{\left(x \right)} + 8$$
y porque
$$6 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 5 = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{6} - \frac{5}{6}$$
sustituimos
$$- \sin{\left(u{\left(x \right)} \right)} + \frac{d}{d x} \left(- \frac{5 x}{6} + \frac{u{\left(x \right)}}{6} - \frac{4}{3}\right) = 0$$
o
$$- \sin{\left(u{\left(x \right)} \right)} + \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{6} - \frac{5}{6} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = - 6 \sin{\left(u{\left(x \right)} \right)} - 5$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$- 6 \sin{\left(u{\left(x \right)} \right)} - 5$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{6 \sin{\left(u{\left(x \right)} \right)} + 5} = -1$$
Con esto hemos separado las variables x y u.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{6 \sin{\left(u{\left(x \right)} \right)} + 5} = - dx$$
o
$$- \frac{du}{6 \sin{\left(u{\left(x \right)} \right)} + 5} = - dx$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{6 \sin{\left(u \right)} + 5}\right)\, du = \int \left(-1\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con u
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\sqrt{11} \log{\left(\tan{\left(\frac{u}{2} \right)} - \frac{\sqrt{11}}{5} + \frac{6}{5} \right)}}{11} + \frac{\sqrt{11} \log{\left(\tan{\left(\frac{u}{2} \right)} + \frac{\sqrt{11}}{5} + \frac{6}{5} \right)}}{11} = Const - x$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = x - \frac{\sqrt{11} \log{\left(\tan{\left(\frac{u{\left(x \right)}}{2} \right)} - \frac{\sqrt{11}}{5} + \frac{6}{5} \right)}}{11} + \frac{\sqrt{11} \log{\left(\tan{\left(\frac{u{\left(x \right)}}{2} \right)} + \frac{\sqrt{11}}{5} + \frac{6}{5} \right)}}{11} = C_{1}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = - \frac{5 x}{6} + \frac{u{\left(x \right)}}{6} - \frac{4}{3}$$
$$y1 = y(x) = \frac{C_{1}}{6} - \frac{5 x}{6} - \frac{4}{3}$$