Ecuación diferencial xy'+1=e^y

Tenemos la ecuación:
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 1 = e^{y{\left(x \right)}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = e^{y{\left(x \right)}} - 1$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$e^{y{\left(x \right)}} - 1$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{e^{y{\left(x \right)}} - 1} = \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{e^{y{\left(x \right)}} - 1} = \frac{dx}{x}$$
o
$$\frac{dy}{e^{y{\left(x \right)}} - 1} = \frac{dx}{x}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{e^{y} - 1}\, dy = \int \frac{1}{x}\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$- y + \log{\left(e^{y} - 1 \right)} = Const + \log{\left(x \right)}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} + \log{\left(x \right)} - \log{\left(e^{y{\left(x \right)}} - 1 \right)} = C_{1}$$