Ecuación diferencial (3y-x)y'=1

Tenemos la ecuación:
$$\left(- x + 3 y{\left(x \right)}\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 1 = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = - x + 3 y{\left(x \right)}$$
y porque
$$3 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 1 = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{3} + \frac{1}{3}$$
sustituimos
$$- x \frac{d}{d x} \left(\frac{x}{3} + \frac{u{\left(x \right)}}{3}\right) + 3 \left(\frac{x}{3} + \frac{u{\left(x \right)}}{3}\right) \frac{d}{d x} \left(\frac{x}{3} + \frac{u{\left(x \right)}}{3}\right) - 1 = 0$$
o
$$\frac{u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{3} + \frac{u{\left(x \right)}}{3} - 1 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = \frac{3 - u{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$\frac{3 - u{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)} - 3} = 1$$
Con esto hemos separado las variables x y u.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)} - 3} = dx$$
o
$$- \frac{du u{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)} - 3} = dx$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{u}{u - 3}\right)\, du = \int 1\, dx$$
Solución detallada de la integral con u
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$- u - 3 \log{\left(u - 3 \right)} = Const + x$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = 3 W\left(\frac{\sqrt[3]{C_{1} e^{- x}}}{3 e^{1}}\right) + 3$$
$$\operatorname{u_{2}} = u{\left(x \right)} = 3 W\left(\frac{\sqrt[3]{C_{1} e^{- x}} \left(-1 + \sqrt{3} i\right)}{6 e^{1}}\right) + 3$$
$$\operatorname{u_{3}} = u{\left(x \right)} = 3 W\left(\frac{\sqrt[3]{C_{1} e^{- x}} \left(-1 - \sqrt{3} i\right)}{6 e^{1}}\right) + 3$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = \frac{x}{3} + \frac{u{\left(x \right)}}{3}$$
$$y1 = y(x) = \frac{x}{3} + W\left(\frac{\sqrt[3]{C_{1} e^{- x}}}{3 e}\right) + 1$$
$$y2 = y(x) = \frac{x}{3} + W\left(\frac{\sqrt[3]{C_{1} e^{- x}} \left(-1 + \sqrt{3} i\right)}{6 e}\right) + 1$$
$$y3 = y(x) = \frac{x}{3} + W\left(\frac{\sqrt[3]{C_{1} e^{- x}} \left(-1 - \sqrt{3} i\right)}{6 e}\right) + 1$$