Sr Examen
Ecuación diferencial lncosydx+xtgydy=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d
cos(y(x))*log(x) + x*--(y(x))*tan(y(x)) = 0
dx
$$x \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \log{\left(x \right)} \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} = 0$$
x*tan(y)*y' + log(x)*cos(y) = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \log{\left(x \right)} \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = x$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \log{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en f1(x)
$$x$$
obtendremos
$$\tan{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{\log{\left(x \right)} \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{x}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\tan{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{\log{\left(x \right)}}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{dx \log{\left(x \right)}}{x}$$
o
$$\frac{dy \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{\cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{dx \log{\left(x \right)}}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{\tan{\left(y \right)}}{\cos{\left(y \right)}}\, dy = \int \left(- \frac{\log{\left(x \right)}}{x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{1}{\cos{\left(y \right)}} = Const - \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{C_{1} - \log{\left(x \right)}^{2}} \right)} + 2 \pi$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{C_{1} - \log{\left(x \right)}^{2}} \right)}$$
$$x \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \log{\left(x \right)} \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = x$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \log{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en f1(x)
$$x$$
obtendremos
$$\tan{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{\log{\left(x \right)} \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{x}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\tan{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{\log{\left(x \right)}}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{dx \log{\left(x \right)}}{x}$$
o
$$\frac{dy \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{\cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{dx \log{\left(x \right)}}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{\tan{\left(y \right)}}{\cos{\left(y \right)}}\, dy = \int \left(- \frac{\log{\left(x \right)}}{x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{1}{\cos{\left(y \right)}} = Const - \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{C_{1} - \log{\left(x \right)}^{2}} \right)} + 2 \pi$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{C_{1} - \log{\left(x \right)}^{2}} \right)}$$
Respuesta
[src]
/ 2 \
y(x) = - acos|------------| + 2*pi
| 2 |
\C1 - log (x)/
$$y{\left(x \right)} = - \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{C_{1} - \log{\left(x \right)}^{2}} \right)} + 2 \pi$$
/ 2 \
y(x) = acos|------------|
| 2 |
\C1 - log (x)/
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{C_{1} - \log{\left(x \right)}^{2}} \right)}$$
Clasificación
separable
lie group
separable Integral