Sr Examen
Ecuación diferencial cos(x)^2*y'=1/(y+5)
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2 d 1
cos (x)*--(y(x)) = --------
dx 5 + y(x)
$$\cos^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{1}{y{\left(x \right)} + 5}$$
cos(x)^2*y' = 1/(y + 5)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\cos^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{1}{y{\left(x \right)} + 5}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{y{\left(x \right)} + 5}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{1}{y{\left(x \right)} + 5}$$
obtendremos
$$\left(y{\left(x \right)} + 5\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx \left(y{\left(x \right)} + 5\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{dx}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$$
o
$$dy \left(y{\left(x \right)} + 5\right) = \frac{dx}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(y + 5\right)\, dy = \int \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{y^{2}}{2} + 5 y = Const + \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{C_{1} \cos{\left(2 x \right)} + C_{1} + \sin{\left(2 x \right)} + \frac{25 \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{25}{2}}}{\cos{\left(x \right)}} - 5$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{C_{1} \cos{\left(2 x \right)} + C_{1} + \sin{\left(2 x \right)} + \frac{25 \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{25}{2}}}{\cos{\left(x \right)}} - 5$$
$$\cos^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{1}{y{\left(x \right)} + 5}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{y{\left(x \right)} + 5}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{1}{y{\left(x \right)} + 5}$$
obtendremos
$$\left(y{\left(x \right)} + 5\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx \left(y{\left(x \right)} + 5\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{dx}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$$
o
$$dy \left(y{\left(x \right)} + 5\right) = \frac{dx}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(y + 5\right)\, dy = \int \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{y^{2}}{2} + 5 y = Const + \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{C_{1} \cos{\left(2 x \right)} + C_{1} + \sin{\left(2 x \right)} + \frac{25 \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{25}{2}}}{\cos{\left(x \right)}} - 5$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{C_{1} \cos{\left(2 x \right)} + C_{1} + \sin{\left(2 x \right)} + \frac{25 \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{25}{2}}}{\cos{\left(x \right)}} - 5$$
Respuesta
[src]
________________________________________________
/ 25 25*cos(2*x)
/ -- + C1 + ----------- + C1*cos(2*x) + sin(2*x)
\/ 2 2
y(x) = -5 - ----------------------------------------------------
cos(x)
$$y{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{C_{1} \cos{\left(2 x \right)} + C_{1} + \sin{\left(2 x \right)} + \frac{25 \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{25}{2}}}{\cos{\left(x \right)}} - 5$$
________________________________________________
/ 25 25*cos(2*x)
/ -- + C1 + ----------- + C1*cos(2*x) + sin(2*x)
\/ 2 2
y(x) = -5 + ----------------------------------------------------
cos(x)
$$y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{C_{1} \cos{\left(2 x \right)} + C_{1} + \sin{\left(2 x \right)} + \frac{25 \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{25}{2}}}{\cos{\left(x \right)}} - 5$$
Clasificación
separable
1st power series
lie group
separable Integral