Sr Examen
Ecuación diferencial y'=(3x^2-2)×cos^2×y
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d 2 / 2\ --(y(x)) = cos (y(x))*\-2 + 3*x / dx
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \left(3 x^{2} - 2\right) \cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
y' = (3*x^2 - 2)*cos(y)^2
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \left(3 x^{2} - 2\right) \cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = 2 - 3 x^{2}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = 2 - 3 x^{2}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = dx \left(2 - 3 x^{2}\right)$$
o
$$- \frac{dy}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = dx \left(2 - 3 x^{2}\right)$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{\cos^{2}{\left(y \right)}}\right)\, dy = \int \left(2 - 3 x^{2}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\sin{\left(y \right)}}{\cos{\left(y \right)}} = Const - x^{3} + 2 x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{C_{1}^{2} + 2 C_{1} x^{3} - 4 C_{1} x + x^{6} - 4 x^{4} + 4 x^{2} + 1} - 1}{C_{1} + x^{3} - 2 x} \right)}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{C_{1}^{2} + 2 C_{1} x^{3} - 4 C_{1} x + x^{6} - 4 x^{4} + 4 x^{2} + 1} + 1}{C_{1} + x^{3} - 2 x} \right)}$$
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \left(3 x^{2} - 2\right) \cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = 2 - 3 x^{2}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = 2 - 3 x^{2}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = dx \left(2 - 3 x^{2}\right)$$
o
$$- \frac{dy}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = dx \left(2 - 3 x^{2}\right)$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{\cos^{2}{\left(y \right)}}\right)\, dy = \int \left(2 - 3 x^{2}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\sin{\left(y \right)}}{\cos{\left(y \right)}} = Const - x^{3} + 2 x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{C_{1}^{2} + 2 C_{1} x^{3} - 4 C_{1} x + x^{6} - 4 x^{4} + 4 x^{2} + 1} - 1}{C_{1} + x^{3} - 2 x} \right)}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{C_{1}^{2} + 2 C_{1} x^{3} - 4 C_{1} x + x^{6} - 4 x^{4} + 4 x^{2} + 1} + 1}{C_{1} + x^{3} - 2 x} \right)}$$
Respuesta
[src]
/ _______________________________________________\
| / 2 6 4 2 3 |
|-1 + \/ 1 + C1 + x - 4*x + 4*x - 4*C1*x + 2*C1*x |
y(x) = 2*atan|-------------------------------------------------------|
| 3 |
\ C1 + x - 2*x /
$$y{\left(x \right)} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{C_{1}^{2} + 2 C_{1} x^{3} - 4 C_{1} x + x^{6} - 4 x^{4} + 4 x^{2} + 1} - 1}{C_{1} + x^{3} - 2 x} \right)}$$
/ _______________________________________________\
| / 2 6 4 2 3 |
|1 + \/ 1 + C1 + x - 4*x + 4*x - 4*C1*x + 2*C1*x |
y(x) = -2*atan|------------------------------------------------------|
| 3 |
\ C1 + x - 2*x /
$$y{\left(x \right)} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{C_{1}^{2} + 2 C_{1} x^{3} - 4 C_{1} x + x^{6} - 4 x^{4} + 4 x^{2} + 1} + 1}{C_{1} + x^{3} - 2 x} \right)}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
1st exact
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 1.5688951318972197)
(-5.555555555555555, 1.569577686929689)
(-3.333333333333333, 1.5697443386811303)
(-1.1111111111111107, 1.569777795994344)
(1.1111111111111107, 1.5697760321521115)
(3.333333333333334, 1.5698075313171467)
(5.555555555555557, 1.5699201827728295)
(7.777777777777779, 1.570099899395877)
(10.0, 1.5702863760108452)
(10.0, 1.5702863760108452)