Sr Examen
Ecuación diferencial y''+y=(2*sin(4*x)-3*cos(4*x))*exp(-x)
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
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Solución
Ha introducido
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2 d -x ---(y(x)) + y(x) = (-3*cos(4*x) + 2*sin(4*x))*e 2 dx
$$y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \left(2 \sin{\left(4 x \right)} - 3 \cos{\left(4 x \right)}\right) e^{- x}$$
y + y'' = (2*sin(4*x) - 3*cos(4*x))*exp(-x)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \left(2 \sin{\left(4 x \right)} - 3 \cos{\left(4 x \right)}\right) e^{- x}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$p = 0$$
$$q = 1$$
$$s = - \left(2 \sin{\left(4 x \right)} - 3 \cos{\left(4 x \right)}\right) e^{- x}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + 1 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = - i$$
$$k_{2} = i$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
y las raíces tienen una forma exclusivamente imaginaria, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} \sin{\left(x \left|{k_{1}}\right| \right)} + C_{2} \cos{\left(x \left|{k_{2}}\right| \right)}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} \sin{\left(x \right)} + C_{2} \cos{\left(x \right)}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = sin(x) (C1=1, C2=0),
y2(x) = cos(x) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = \left(2 \sin{\left(4 x \right)} - 3 \cos{\left(4 x \right)}\right) e^{- x}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$\sin{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = \left(2 \sin{\left(4 x \right)} - 3 \cos{\left(4 x \right)}\right) e^{- x}$$
o
$$\sin{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$- \sin{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \left(2 \sin{\left(4 x \right)} - 3 \cos{\left(4 x \right)}\right) e^{- x}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \left(2 \sin{\left(4 x \right)} - 3 \cos{\left(4 x \right)}\right) e^{- x} \cos{\left(x \right)}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \left(- 2 \sin{\left(4 x \right)} + 3 \cos{\left(4 x \right)}\right) e^{- x} \sin{\left(x \right)}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(2 \sin{\left(4 x \right)} - 3 \cos{\left(4 x \right)}\right) e^{- x} \cos{\left(x \right)}\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(- 2 \sin{\left(4 x \right)} + 3 \cos{\left(4 x \right)}\right) e^{- x} \sin{\left(x \right)}\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} - \frac{e^{- x} \sin{\left(x \right)} \sin{\left(4 x \right)}}{65} + \frac{29 e^{- x} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(4 x \right)}}{130} - \frac{57 e^{- x} \sin{\left(4 x \right)} \cos{\left(x \right)}}{65} - \frac{37 e^{- x} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(4 x \right)}}{130}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \frac{57 e^{- x} \sin{\left(x \right)} \sin{\left(4 x \right)}}{65} + \frac{37 e^{- x} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(4 x \right)}}{130} - \frac{e^{- x} \sin{\left(4 x \right)} \cos{\left(x \right)}}{65} + \frac{29 e^{- x} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(4 x \right)}}{130}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} \sin{\left(x \right)} + C_{4} \cos{\left(x \right)} - \frac{e^{- x} \sin^{2}{\left(x \right)} \sin{\left(4 x \right)}}{65} + \frac{29 e^{- x} \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(4 x \right)}}{130} - \frac{e^{- x} \sin{\left(4 x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{65} + \frac{29 e^{- x} \cos^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(4 x \right)}}{130}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
$$y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \left(2 \sin{\left(4 x \right)} - 3 \cos{\left(4 x \right)}\right) e^{- x}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = s,
donde
$$p = 0$$
$$q = 1$$
$$s = - \left(2 \sin{\left(4 x \right)} - 3 \cos{\left(4 x \right)}\right) e^{- x}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + 1 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = - i$$
$$k_{2} = i$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
y las raíces tienen una forma exclusivamente imaginaria, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} \sin{\left(x \left|{k_{1}}\right| \right)} + C_{2} \cos{\left(x \left|{k_{2}}\right| \right)}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} \sin{\left(x \right)} + C_{2} \cos{\left(x \right)}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
y'' + p*y' + q*y = s
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = sin(x) (C1=1, C2=0),
y2(x) = cos(x) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = \left(2 \sin{\left(4 x \right)} - 3 \cos{\left(4 x \right)}\right) e^{- x}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$\sin{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = \left(2 \sin{\left(4 x \right)} - 3 \cos{\left(4 x \right)}\right) e^{- x}$$
o
$$\sin{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$- \sin{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \left(2 \sin{\left(4 x \right)} - 3 \cos{\left(4 x \right)}\right) e^{- x}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \left(2 \sin{\left(4 x \right)} - 3 \cos{\left(4 x \right)}\right) e^{- x} \cos{\left(x \right)}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \left(- 2 \sin{\left(4 x \right)} + 3 \cos{\left(4 x \right)}\right) e^{- x} \sin{\left(x \right)}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(2 \sin{\left(4 x \right)} - 3 \cos{\left(4 x \right)}\right) e^{- x} \cos{\left(x \right)}\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(- 2 \sin{\left(4 x \right)} + 3 \cos{\left(4 x \right)}\right) e^{- x} \sin{\left(x \right)}\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} - \frac{e^{- x} \sin{\left(x \right)} \sin{\left(4 x \right)}}{65} + \frac{29 e^{- x} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(4 x \right)}}{130} - \frac{57 e^{- x} \sin{\left(4 x \right)} \cos{\left(x \right)}}{65} - \frac{37 e^{- x} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(4 x \right)}}{130}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \frac{57 e^{- x} \sin{\left(x \right)} \sin{\left(4 x \right)}}{65} + \frac{37 e^{- x} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(4 x \right)}}{130} - \frac{e^{- x} \sin{\left(4 x \right)} \cos{\left(x \right)}}{65} + \frac{29 e^{- x} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(4 x \right)}}{130}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} \sin{\left(x \right)} + C_{4} \cos{\left(x \right)} - \frac{e^{- x} \sin^{2}{\left(x \right)} \sin{\left(4 x \right)}}{65} + \frac{29 e^{- x} \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(4 x \right)}}{130} - \frac{e^{- x} \sin{\left(4 x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{65} + \frac{29 e^{- x} \cos^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(4 x \right)}}{130}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
Respuesta
[src]
-x -x
e *sin(4*x) 29*cos(4*x)*e
y(x) = C1*sin(x) + C2*cos(x) - ------------ + ---------------
65 130
$$y{\left(x \right)} = C_{1} \sin{\left(x \right)} + C_{2} \cos{\left(x \right)} - \frac{e^{- x} \sin{\left(4 x \right)}}{65} + \frac{29 e^{- x} \cos{\left(4 x \right)}}{130}$$
Clasificación
nth linear constant coeff undetermined coefficients
nth linear constant coeff variation of parameters
nth linear constant coeff variation of parameters Integral