Sr Examen
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¿Cómo usar?
- Ecuación diferencial:
- Ecuación x^2*y'=2*x*y+3
- Ecuación y'+2*y/x=e^(-x^2)/x
- Ecuación x*y^2*y'=x^2+y^3
- Ecuación 2*y'=3+6*y/x+y^2/x^2
- Integral de d{x}:
- 1+y^2
- Gráfico de la función y =:
-
1+y^2
- Límite de la función:
- 1+y^2
-
Expresiones idénticas
- xy(uno +x^ dos)y'= uno +y^ dos
- xy(1 más x al cuadrado )y signo de prima para el primer (1) orden es igual a 1 más y al cuadrado
- xy(uno más x en el grado dos)y signo de prima para el primer (1) orden es igual a uno más y en el grado dos
- xy(1+x2)y'=1+y2
- xy1+x2y'=1+y2
- xy(1+x²)y'=1+y²
- xy(1+x en el grado 2)y'=1+y en el grado 2
- xy1+x^2y'=1+y^2
-
Expresiones semejantes
- xy(1-x^2)y'=1+y^2
- xy(1+x^2)y'=1-y^2
-
Expresiones con funciones
- xy
- xy’=y
- xy’=yln(y/x)
- xydx=(1+x^2)dy
- xydx+(x+y)dy=0
- xyy'=3x²+4y^2
Ecuación diferencial xy(1+x^2)y'=1+y^2
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2\ d 2
x*\1 + x /*--(y(x))*y(x) = 1 + y (x)
dx
$$x \left(x^{2} + 1\right) y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = y^{2}{\left(x \right)} + 1$$
x*(x^2 + 1)*y*y' = y^2 + 1
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x \left(x^{2} + 1\right) y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = y^{2}{\left(x \right)} + 1$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = x \left(x^{2} + 1\right)$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - y^{2}{\left(x \right)} - 1$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en f1(x)
$$x \left(x^{2} + 1\right)$$
obtendremos
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{y^{2}{\left(x \right)} + 1}{x^{3} + x}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- y^{2}{\left(x \right)} - 1$$
obtendremos
$$- \frac{y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = - \frac{1}{x^{3} + x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = - \frac{dx}{x^{3} + x}$$
o
$$- \frac{dy y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = - \frac{dx}{x^{3} + x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{y}{y^{2} + 1}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{x^{3} + x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\log{\left(y^{2} + 1 \right)}}{2} = Const - \log{\left(x \right)} + \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{\frac{C_{1} x^{2} - x^{2} - 1}{x^{2} + 1}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{\frac{C_{1} x^{2} - x^{2} - 1}{x^{2} + 1}}$$
$$x \left(x^{2} + 1\right) y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = y^{2}{\left(x \right)} + 1$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = x \left(x^{2} + 1\right)$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - y^{2}{\left(x \right)} - 1$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en f1(x)
$$x \left(x^{2} + 1\right)$$
obtendremos
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{y^{2}{\left(x \right)} + 1}{x^{3} + x}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- y^{2}{\left(x \right)} - 1$$
obtendremos
$$- \frac{y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = - \frac{1}{x^{3} + x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = - \frac{dx}{x^{3} + x}$$
o
$$- \frac{dy y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = - \frac{dx}{x^{3} + x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{y}{y^{2} + 1}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{x^{3} + x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\log{\left(y^{2} + 1 \right)}}{2} = Const - \log{\left(x \right)} + \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{\frac{C_{1} x^{2} - x^{2} - 1}{x^{2} + 1}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{\frac{C_{1} x^{2} - x^{2} - 1}{x^{2} + 1}}$$
Respuesta
[src]
_________________
/ 2 2
/ -1 - x + C1*x
y(x) = - / ---------------
/ 2
\/ 1 + x
$$y{\left(x \right)} = - \sqrt{\frac{C_{1} x^{2} - x^{2} - 1}{x^{2} + 1}}$$
_________________
/ 2 2
/ -1 - x + C1*x
y(x) = / ---------------
/ 2
\/ 1 + x
$$y{\left(x \right)} = \sqrt{\frac{C_{1} x^{2} - x^{2} - 1}{x^{2} + 1}}$$
Clasificación
separable
1st exact
Bernoulli
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Bernoulli Integral