Sr Examen
Ecuación diferencial 3*y"+2*y'+y=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2
d d
2*--(y(x)) + 3*---(y(x)) + y(x) = 0
dx 2
dx
$$y{\left(x \right)} + 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 3 \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
y + 2*y' + 3*y'' = 0
Solución detallada
Dividamos las dos partes de la ecuación al factor de la derivada de y'':
$$3$$
Recibimos la ecuación:
$$\frac{y{\left(x \right)}}{3} + \frac{2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{3} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$p = \frac{2}{3}$$
$$q = \frac{1}{3}$$
Se llama lineal homogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + \frac{2 k}{3} + \frac{1}{3} = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = - \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{2} i}{3}$$
$$k_{2} = - \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{2} i}{3}$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(- \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{2} i}{3}\right)} + C_{2} e^{x \left(- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{2} i}{3}\right)}$$
$$3$$
Recibimos la ecuación:
$$\frac{y{\left(x \right)}}{3} + \frac{2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{3} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = 0,
donde
$$p = \frac{2}{3}$$
$$q = \frac{1}{3}$$
Se llama lineal homogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + \frac{2 k}{3} + \frac{1}{3} = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = - \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{2} i}{3}$$
$$k_{2} = - \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{2} i}{3}$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(- \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{2} i}{3}\right)} + C_{2} e^{x \left(- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{2} i}{3}\right)}$$
Respuesta
[src]
-x
/ / ___\ / ___\\ ---
| |x*\/ 2 | |x*\/ 2 || 3
y(x) = |C1*sin|-------| + C2*cos|-------||*e
\ \ 3 / \ 3 //
$$y{\left(x \right)} = \left(C_{1} \sin{\left(\frac{\sqrt{2} x}{3} \right)} + C_{2} \cos{\left(\frac{\sqrt{2} x}{3} \right)}\right) e^{- \frac{x}{3}}$$
Clasificación
nth linear constant coeff homogeneous
2nd power series ordinary