Sr Examen
Ecuación diferencial dx*y-dy*i*n*(x^2+4)*y=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d 2 d
- 4*I*n*--(y(x))*y(x) - I*n*x *--(y(x))*y(x) + y(x) = 0
dx dx
$$- i n x^{2} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 4 i n y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} = 0$$
-i*n*x^2*y*y' - 4*i*n*y*y' + y = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$- i n x^{2} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 4 i n y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{2} + 4}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{i}{n}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{i}{n}$$
obtendremos
$$- i n \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{2} + 4}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- i dx n \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{dx}{x^{2} + 4}$$
o
$$- i dy n = - \frac{dx}{x^{2} + 4}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- i n\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{x^{2} + 4}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- i n y = Const - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = 0$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = C_{1} - \frac{i \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2 n}$$
$$- i n x^{2} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 4 i n y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{2} + 4}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{i}{n}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{i}{n}$$
obtendremos
$$- i n \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{2} + 4}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- i dx n \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{dx}{x^{2} + 4}$$
o
$$- i dy n = - \frac{dx}{x^{2} + 4}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- i n\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{x^{2} + 4}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- i n y = Const - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = 0$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = C_{1} - \frac{i \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2 n}$$
Respuesta
[src]
y(x) = 0
$$y{\left(x \right)} = 0$$
/x\
I*atan|-|
\2/
y(x) = C1 - ---------
2*n
$$y{\left(x \right)} = C_{1} - \frac{i \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2 n}$$
Clasificación
factorable
nth algebraic
separable
1st linear
1st power series
lie group
nth algebraic Integral
separable Integral
1st linear Integral