Sr Examen
Ecuación diferencial dy+(xy-xy^3)dx=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
3 d
x*y(x) - x*y (x) + --(y(x)) = 0
dx
$$- x y^{3}{\left(x \right)} + x y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
-x*y^3 + x*y + y' = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$- x y^{3}{\left(x \right)} + x y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \left(y^{2}{\left(x \right)} - 1\right) y{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \left(y^{2}{\left(x \right)} - 1\right) y{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{3}{\left(x \right)} - y{\left(x \right)}} = - x$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{3}{\left(x \right)} - y{\left(x \right)}} = - dx x$$
o
$$- \frac{dy}{y^{3}{\left(x \right)} - y{\left(x \right)}} = - dx x$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{y^{3} - y}\right)\, dy = \int \left(- x\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\log{\left(y \right)} - \frac{\log{\left(y^{2} - 1 \right)}}{2} = Const - \frac{x^{2}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{- \frac{1}{C_{1} e^{x^{2}} - 1}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{\frac{1}{C_{1} e^{x^{2}} + 1}}$$
$$- x y^{3}{\left(x \right)} + x y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \left(y^{2}{\left(x \right)} - 1\right) y{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \left(y^{2}{\left(x \right)} - 1\right) y{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{3}{\left(x \right)} - y{\left(x \right)}} = - x$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{3}{\left(x \right)} - y{\left(x \right)}} = - dx x$$
o
$$- \frac{dy}{y^{3}{\left(x \right)} - y{\left(x \right)}} = - dx x$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{y^{3} - y}\right)\, dy = \int \left(- x\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\log{\left(y \right)} - \frac{\log{\left(y^{2} - 1 \right)}}{2} = Const - \frac{x^{2}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{- \frac{1}{C_{1} e^{x^{2}} - 1}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{\frac{1}{C_{1} e^{x^{2}} + 1}}$$
Respuesta
[src]
_______________
/ -1
y(x) = - / -------------
/ / 2\
/ \x /
\/ -1 + C1*e
$$y{\left(x \right)} = - \sqrt{- \frac{1}{C_{1} e^{x^{2}} - 1}}$$
______________
/ 1
y(x) = / ------------
/ / 2\
/ \x /
\/ 1 + C1*e
$$y{\left(x \right)} = \sqrt{\frac{1}{C_{1} e^{x^{2}} + 1}}$$
Clasificación
separable
1st exact
Bernoulli
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Bernoulli Integral