Sr Examen
Ecuación diferencial y^2dy-(dx/x^1/2)
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
1 2 d
- ----- + y (x)*--(y(x)) = 0
___ dx
\/ x
$$y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \frac{1}{\sqrt{x}} = 0$$
y^2*y' - 1/sqrt(x) = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \frac{1}{\sqrt{x}} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sqrt{x}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{1}{y^{2}{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{1}{y^{2}{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sqrt{x}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- dx y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{dx}{\sqrt{x}}$$
o
$$- dy y^{2}{\left(x \right)} = - \frac{dx}{\sqrt{x}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- y^{2}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{\sqrt{x}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{y^{3}}{3} = Const - 2 \sqrt{x}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \sqrt[3]{C_{1} + 6 \sqrt{x}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\left(- \sqrt[3]{3} - 3^{\frac{5}{6}} i\right) \sqrt[3]{C_{1} + 2 \sqrt{x}}}{2}$$
$$\operatorname{y_{3}} = y{\left(x \right)} = \frac{\left(- \sqrt[3]{3} + 3^{\frac{5}{6}} i\right) \sqrt[3]{C_{1} + 2 \sqrt{x}}}{2}$$
$$y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \frac{1}{\sqrt{x}} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sqrt{x}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{1}{y^{2}{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{1}{y^{2}{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sqrt{x}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- dx y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{dx}{\sqrt{x}}$$
o
$$- dy y^{2}{\left(x \right)} = - \frac{dx}{\sqrt{x}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- y^{2}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{\sqrt{x}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{y^{3}}{3} = Const - 2 \sqrt{x}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \sqrt[3]{C_{1} + 6 \sqrt{x}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\left(- \sqrt[3]{3} - 3^{\frac{5}{6}} i\right) \sqrt[3]{C_{1} + 2 \sqrt{x}}}{2}$$
$$\operatorname{y_{3}} = y{\left(x \right)} = \frac{\left(- \sqrt[3]{3} + 3^{\frac{5}{6}} i\right) \sqrt[3]{C_{1} + 2 \sqrt{x}}}{2}$$
Respuesta
[src]
______________
3 / ___
y(x) = \/ C1 + 6*\/ x
$$y{\left(x \right)} = \sqrt[3]{C_{1} + 6 \sqrt{x}}$$
______________
3 / ___ / 3 ___ 5/6\
\/ C1 + 2*\/ x *\- \/ 3 - I*3 /
y(x) = ------------------------------------
2
$$y{\left(x \right)} = \frac{\left(- \sqrt[3]{3} - 3^{\frac{5}{6}} i\right) \sqrt[3]{C_{1} + 2 \sqrt{x}}}{2}$$
______________
3 / ___ / 3 ___ 5/6\
\/ C1 + 2*\/ x *\- \/ 3 + I*3 /
y(x) = ------------------------------------
2
$$y{\left(x \right)} = \frac{\left(- \sqrt[3]{3} + 3^{\frac{5}{6}} i\right) \sqrt[3]{C_{1} + 2 \sqrt{x}}}{2}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
1st exact
Bernoulli
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Bernoulli Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, nan)
(-5.555555555555555, nan)
(-3.333333333333333, nan)
(-1.1111111111111107, nan)
(1.1111111111111107, nan)
(3.333333333333334, nan)
(5.555555555555557, nan)
(7.777777777777779, nan)
(10.0, nan)
(10.0, nan)