Sr Examen
Ecuación diferencial xydy=(sqrty^2+ldx)
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d y(x) x*--(y(x))*y(x) = l + ---- dx dx
$$x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = l + \frac{y{\left(x \right)}}{dx}$$
x*y*y' = l + y/dx
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = l + \frac{y{\left(x \right)}}{dx}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{dx l + y{\left(x \right)}}{dx y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{dx l + y{\left(x \right)}}{dx y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{dx l + y{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx^{2} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{dx l + y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
o
$$- \frac{dx dy y{\left(x \right)}}{dx l + y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{dx y}{dx l + y}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- dx \left(- dx l \log{\left(dx l + y \right)} + y\right) = Const - \log{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = dx l \left(- W\left(- \frac{e^{\frac{C_{1}}{dx l} - 1 - \frac{\log{\left(x \right)}}{dx^{2} l}}}{dx l}\right) - 1\right)$$
$$x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = l + \frac{y{\left(x \right)}}{dx}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{dx l + y{\left(x \right)}}{dx y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{dx l + y{\left(x \right)}}{dx y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{dx l + y{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx^{2} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{dx l + y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
o
$$- \frac{dx dy y{\left(x \right)}}{dx l + y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{dx y}{dx l + y}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- dx \left(- dx l \log{\left(dx l + y \right)} + y\right) = Const - \log{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = dx l \left(- W\left(- \frac{e^{\frac{C_{1}}{dx l} - 1 - \frac{\log{\left(x \right)}}{dx^{2} l}}}{dx l}\right) - 1\right)$$
Respuesta
[src]
/ / C1 log(x) \\
| | -1 + ---- - ------ ||
| | dx*l 2 ||
| | dx *l ||
| |-e ||
y(x) = dx*l*|-1 - W|---------------------||
\ \ dx*l //
$$y{\left(x \right)} = dx l \left(- W\left(- \frac{e^{\frac{C_{1}}{dx l} - 1 - \frac{\log{\left(x \right)}}{dx^{2} l}}}{dx l}\right) - 1\right)$$
Clasificación
separable
lie group
separable Integral