Sr Examen
Ecuación diferencial dy/√x=3dx√y
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d --(y(x)) dx ______ -------- = 3*\/ y(x) ___ \/ x
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{x}} = 3 \sqrt{y{\left(x \right)}}$$
y'/sqrt(x) = 3*sqrt(y)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{x}} = 3 \sqrt{y{\left(x \right)}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \sqrt{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - 3 \sqrt{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- 3 \sqrt{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{3 \sqrt{y{\left(x \right)}}} = - \sqrt{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{3 \sqrt{y{\left(x \right)}}} = - dx \sqrt{x}$$
o
$$- \frac{dy}{3 \sqrt{y{\left(x \right)}}} = - dx \sqrt{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{3 \sqrt{y}}\right)\, dy = \int \left(- \sqrt{x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{2 \sqrt{y}}{3} = Const - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{C_{1}^{2}}{4} + C_{1} x^{\frac{3}{2}} + x^{3}$$
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{x}} = 3 \sqrt{y{\left(x \right)}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \sqrt{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - 3 \sqrt{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- 3 \sqrt{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{3 \sqrt{y{\left(x \right)}}} = - \sqrt{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{3 \sqrt{y{\left(x \right)}}} = - dx \sqrt{x}$$
o
$$- \frac{dy}{3 \sqrt{y{\left(x \right)}}} = - dx \sqrt{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{3 \sqrt{y}}\right)\, dy = \int \left(- \sqrt{x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{2 \sqrt{y}}{3} = Const - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{C_{1}^{2}}{4} + C_{1} x^{\frac{3}{2}} + x^{3}$$
Respuesta
[src]
2
3 C1 3/2
y(x) = x + --- + C1*x
4
$$y{\left(x \right)} = \frac{C_{1}^{2}}{4} + C_{1} x^{\frac{3}{2}} + x^{3}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
Bernoulli
1st power series
lie group
separable Integral
Bernoulli Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, nan)
(-5.555555555555555, nan)
(-3.333333333333333, nan)
(-1.1111111111111107, nan)
(1.1111111111111107, nan)
(3.333333333333334, nan)
(5.555555555555557, nan)
(7.777777777777779, nan)
(10.0, nan)
(10.0, nan)