Ecuación diferencial dy/dx=2/9(150-y)(150-y)

Tenemos la ecuación:
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \left(\frac{100}{3} - \frac{2 y{\left(x \right)}}{9}\right) \left(150 - y{\left(x \right)}\right)$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{2 y^{2}{\left(x \right)}}{9} + \frac{200 y{\left(x \right)}}{3} - 5000$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{2 y^{2}{\left(x \right)}}{9} + \frac{200 y{\left(x \right)}}{3} - 5000$$
obtendremos
$$- \frac{9 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{2 y^{2}{\left(x \right)} - 600 y{\left(x \right)} + 45000} = -1$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{9 dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{2 y^{2}{\left(x \right)} - 600 y{\left(x \right)} + 45000} = - dx$$
o
$$- \frac{9 dy}{2 y^{2}{\left(x \right)} - 600 y{\left(x \right)} + 45000} = - dx$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{9}{2 y^{2} - 600 y + 45000}\right)\, dy = \int \left(-1\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$\frac{9}{2 y - 300} = Const - x$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{150 C_{1} - 150 x + \frac{9}{2}}{C_{1} - x}$$