Sr Examen
Ecuación diferencial dy/y^3=dx/(1-2x)^4
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d --(y(x)) dx 1 -------- = ------------------------------- 3 3 4 2 y (x) 1 - 32*x - 8*x + 16*x + 24*x
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{3}{\left(x \right)}} = \frac{1}{16 x^{4} - 32 x^{3} + 24 x^{2} - 8 x + 1}$$
y'/y^3 = 1/(16*x^4 - 32*x^3 + 24*x^2 - 8*x + 1)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{3}{\left(x \right)}} = \frac{1}{16 x^{4} - 32 x^{3} + 24 x^{2} - 8 x + 1}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{16 x^{4} - 32 x^{3} + 24 x^{2} - 8 x + 1}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - y^{3}{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- y^{3}{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{3}{\left(x \right)}} = - \frac{1}{16 x^{4} - 32 x^{3} + 24 x^{2} - 8 x + 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{3}{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{16 x^{4} - 32 x^{3} + 24 x^{2} - 8 x + 1}$$
o
$$- \frac{dy}{y^{3}{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{16 x^{4} - 32 x^{3} + 24 x^{2} - 8 x + 1}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{y^{3}}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{16 x^{4} - 32 x^{3} + 24 x^{2} - 8 x + 1}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{1}{2 y^{2}} = Const + \frac{1}{48 x^{3} - 72 x^{2} + 36 x - 6}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{3} \sqrt{\frac{8 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x - 1}{- 48 C_{1} x^{3} + 72 C_{1} x^{2} - 36 C_{1} x + 6 C_{1} + 1}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{3} \sqrt{\frac{8 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x - 1}{- 48 C_{1} x^{3} + 72 C_{1} x^{2} - 36 C_{1} x + 6 C_{1} + 1}}$$
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{3}{\left(x \right)}} = \frac{1}{16 x^{4} - 32 x^{3} + 24 x^{2} - 8 x + 1}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{16 x^{4} - 32 x^{3} + 24 x^{2} - 8 x + 1}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - y^{3}{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- y^{3}{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{3}{\left(x \right)}} = - \frac{1}{16 x^{4} - 32 x^{3} + 24 x^{2} - 8 x + 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{3}{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{16 x^{4} - 32 x^{3} + 24 x^{2} - 8 x + 1}$$
o
$$- \frac{dy}{y^{3}{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{16 x^{4} - 32 x^{3} + 24 x^{2} - 8 x + 1}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{y^{3}}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{16 x^{4} - 32 x^{3} + 24 x^{2} - 8 x + 1}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{1}{2 y^{2}} = Const + \frac{1}{48 x^{3} - 72 x^{2} + 36 x - 6}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{3} \sqrt{\frac{8 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x - 1}{- 48 C_{1} x^{3} + 72 C_{1} x^{2} - 36 C_{1} x + 6 C_{1} + 1}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{3} \sqrt{\frac{8 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x - 1}{- 48 C_{1} x^{3} + 72 C_{1} x^{2} - 36 C_{1} x + 6 C_{1} + 1}}$$
Respuesta
[src]
__________________________________________
/ 2 3
___ / -1 - 12*x + 6*x + 8*x
y(x) = -\/ 3 * / ----------------------------------------
/ 3 2
\/ 1 + 6*C1 - 48*C1*x - 36*C1*x + 72*C1*x
$$y{\left(x \right)} = - \sqrt{3} \sqrt{\frac{8 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x - 1}{- 48 C_{1} x^{3} + 72 C_{1} x^{2} - 36 C_{1} x + 6 C_{1} + 1}}$$
__________________________________________
/ 2 3
___ / -1 - 12*x + 6*x + 8*x
y(x) = \/ 3 * / ----------------------------------------
/ 3 2
\/ 1 + 6*C1 - 48*C1*x - 36*C1*x + 72*C1*x
$$y{\left(x \right)} = \sqrt{3} \sqrt{\frac{8 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x - 1}{- 48 C_{1} x^{3} + 72 C_{1} x^{2} - 36 C_{1} x + 6 C_{1} + 1}}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
1st exact
Bernoulli
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Bernoulli Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 0.7500079581346234)
(-5.555555555555555, 0.7500321162760661)
(-3.333333333333333, 0.750148754292299)
(-1.1111111111111107, 0.7521036224123024)
(1.1111111111111107, 3452.9974946153757)
(3.333333333333334, 3.1933833808213433e-248)
(5.555555555555557, 1.693402848906264e-52)
(7.777777777777779, 8.38824356695714e+296)
(10.0, 1.0759798446059127e-282)
(10.0, 1.0759798446059127e-282)